bzoj4588

最新推荐文章于 2021-01-05 22:52:56 发布

liumy2010

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分类专栏： bzoj

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这篇博客介绍了如何解决bzoj4588 CoinChange问题。作者通过将问题转化为从零点跳跃到目标S，且跳跃距离单调不增，构建了矩阵m[i][j]表示不同跳跃范围的方案数。通过处理dp[i]矩阵，并利用跳跃步伐的单调性和倍数关系，提出了矩阵转移的解决方案。由于避免了O(n^3*T)的时间复杂度，博客着重于优化常数时间。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

bzoj4588 coinchange

题目链接](http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4588)
说来惭愧写了这么多题竟没写过博客，这就是我的第一篇博客了QAQ。

这题在网上搜寻无果后看了半天topcoder的官方题解，真的长。。。这里简要说说。把题想象成是从零点跳到S, 且每一步距离单调不增。那么就是用矩阵m[i][j]表示第一步<=w[i]最后一步是w[j]的方案数。

首先处理出dp[i]表示要跳w[i]的距离方案数的矩阵（转移见代码），然后发现由于跳的步伐单调不增又成倍数关系，则有些点必然会经过（即w[n],w[n]*2…w[n-1],w[n-1]*2….，把S换成一个w的进制后每一位上的点）。那么就能用矩阵转移啦！！！

然后并不会O(n^3*T)做法，就只能卡常卡常啦！！！

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
int mod=1e9+7;
ll read(){
    char c=getchar();ll w=0;
    while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9'){w=(w<<3)+(w<<1)+c-'0';c=getchar();}
    return w;
}
ll w[45],m;
inline int add(const int a,const int b){
    return (a+b>=mod)?a+b-mod:a+b;
}
int D;
inline ll mo(const ll a){
    return (a<mod)?a:a-a/mod*mod;
}
struct mat{
    int a[45][45];
    void init(){
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=1;i<=n;i++) a[i][i]=1;
    }
    inline friend mat operator *(mat a,mat b){
        mat c;memset(c.a,0,sizeof(c.a));
        for(int i=1;i<=D;i++){
            for(int j=1;j<=i;j++){
                if(!a.a[i][j]) continue;
                for(int p=1;p<=j&&p<=i;p++){
                    if(!b.a[j][p]) continue;
                    c.a[i][p]=add(c.a[i][p],mo(1LL*a.a[i][j]*b.a[j][p]));
                }
            }
        }
        return c;
    }
}f[45];
inline mat quick_pow(mat a,const ll b){
    if(b==1) return a;
    if(b==2) return a*a;
    mat ans;ans.init();
    for(ll i=1;i<=b;i<<=1,a=a*a){
        if(b&i) ans=ans*a;
        if((i<<1)>b) break;
    }
    return ans;
}
int main(){
    while(scanf("%d%lld",&n,&m)!=EOF){
        for(int i=1;i<=n;i++) w[i]=read();
        sort(w+1,w+n+1);
        while(w[n]>m) n--;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            f[1].a[i][1]=1;
            for(int p=2;p<=n;p++) f[1].a[i][p]=0;
        }
        for(int i=2;i<=n;i++){
            D=i;
            if(w[i]/w[i-1]>2)f[i]=quick_pow(f[i-1],w[i]/w[i-1]);
            else f[i]=f[i-1]*f[i-1];
            f[i].a[i][i]=1;
            for(int p=i+1;p<=n;p++)
                for(int j=1;j<=i;j++) f[i].a[p][j]=f[i].a[p-1][j];
        }
        mat ans,temp;ans.init();
        D=n;
        for(int i=n;i>0;i--){
            if(m>=w[i]){
                if(m>=(w[i]<<1)){
                    D=min(i+1,n);
                    temp=quick_pow(f[i],m/w[i]);
                    for(int p=i+2;p<=n;p++)
                        for(int j=1;j<=i+1;j++)
                            temp.a[p][j]=temp.a[p-1][j];
                    D=n;
                    ans=ans*temp;
                }
                else ans=ans*f[i];
                m%=w[i];
            }
        }
        int sum=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) sum=add(sum,ans.a[n][i]);
        printf("%d\n",sum);
    }
    return 0;
}

处处都在卡常（面向数据编程。。。）