算法分析与设计期末总结（1）

最新推荐文章于 2025-06-09 11:54:59 发布

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本文概述了算法分析的基础，包括大O符号表示法及其性质。接着深入探讨了递归与分治策略，强调了递归的优缺点以及消除递归的方法。详细介绍了分治法的适用问题特征，并通过汉诺塔问题举例说明。接着，讨论了二分搜索技术和大整数乘法的分治策略优化。最后，概述了动态规划的核心思想、解题步骤及应用，如流水作业调度和0-1背包问题的动态规划解决方案。

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第一章算法引论

1、如果存在正的常数和自然数N0，使得当N>= N0时有f(N)<=Cg(N)，则称函数f(N)在N充分大时上有界，且g(N)是它的一个上界，记为f(N) = O(g(N))。还称f(N)的阶不高于g(N)的阶。
（1） O(f) + O(g) = O(max(f, g))
（2） O(f) + O(g) = O(f + g)
（3） O(f)O(g) = O(fg)
（4）如果g(N) = O(f(N))，则O(f) + O(g) = O(f)
（5） O(Cf(N)) = O(f(N))，其中C是一个正的常数
（6） f = O(f)

2、按照按照渐进阶从低到高的顺序排列以下表达式：4n2, logn, 3n, 20n, 2, n2/3。又n!应该排在哪一位？
2 ， logn ， n2/3 ， 20n ， 4n2 ， 3n ， n!

第二章递归与分治策略

1、递归的概念：直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
递归的优点：结构清晰，可读性强，易用数学归纳法来证明算法的正确性，为设计算法、调试程序带来很大方便。缺点：运行效率较低，耗费的计算时间多、占用的存储空间多。
解决方法：在递归算法中消除递归调用，使其转化为非递归算法。
具体实施：①采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用工作栈。
②用递推来实现递归函数；③通过Cooper变换、反演变换能将一些递归转化为尾递归，从而迭代求出结果。（以上两种方法在时空复杂度上均有较大改善，但其适用范围有限。）
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
①该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
②该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质
③利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
④该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。（能否利用分治法完全取决于问题是否具有这条特征，如果具备了前两条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心算法或动态规划。）

2、Hanoi塔问题（递归）

public static void hanoi(int n, int a, int b, int c) {
    if(n > 0) {
        hanoi(n-1, a, c, b);
        move(a, b);
        hanoi(n-1, c, b, a);
    }
}

思考：如果塔的个数变为a,b,c,d四个，现要将n个圆盘从a全部移动到d，移动规则不变，求移动步数最小的方案。

void hanoi_basic_3(int n, char a, char b, char c)
{//把n个盘子从a柱子移动到b柱子   
    if(n > 0) 
   {  
        hanoi_basic_3(n - 1, a, c, b);  
        move(n, a, b);     
        hanoi_basic_3(n - 1, c, b, a);    
    }  
} 
void hanoi(int n, char a, char c, char b, char d, int C[])
{  
    int j=C[n]; //j个盘子使用四个柱子的移动方式   
    if(n > 0) {  
        hanoi(j, a, d, b, c, C);// 把j个盘子移动到d柱子上  
        hanoi_basic_3(n - j, a, c, b);// 把n-j个盘子移动到c柱子上（使用三个柱子的移动方式）   
        hanoi(j, d, c, a, b, C);    // 把j个盘子移动到c柱子上  </