【算法分析与设计】期末总结

给大家推荐一个《算法分析设计》的视频，我觉得老师讲的很清晰：算法设计与分析MOOC-青岛大学-张公敬教授

算法概述

算法的概念：算法是指解决问题的一种方法或过程，是由若干条指令组成的有穷序列。

算法的特征：

• 有限性：算法必须在有限时间内终止；
• 正确性：算法必须正确描述问题的求解过程；
• 可行性：算法必须是可实施的；
• 算法可以有0个或0个以上的输入；
• 算法必须有1个或1个以上的输出。

算法与程序的关系：

区别：

• 程序可以不一定满足可终止性。但算法必须在有限时间内结束；
• 程序可以没有输出,而算法则必须有输出；
• 算法是面向问题求解的过程描述，程序则是算法的实现。

联系：

• 程序是算法用某种程序设计语言的具体实现；
• 程序可以不满足算法的有限性性质。

算法复杂性度量：

期望反映算法本身性能，与环境无关。
理论上不能用算法在机器上真正的运行开销作为标准（硬件性能、代码质量影响）。
一般是针对问题选择基本运算和基本存储单位，用算法针对基本运算与基本存储单位的开销作为标准。

算法复杂性C依赖于问题规模N、算法输入I和算法本身A。即C=F(N, I, A)。

分治法

为什么使用分治法：求解问题算法的复杂性一般都与问题规模相关，问题规模越小越容易处理。

分治法基本思想：

将一个难以直接解决的大问题，分解为规模较小的相同子问题，直至这些子问题容易直接求解，并且可以利用这些子问题的解求出原问题的解。各个击破，分而治之。
分治法产生的子问题一般是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。递归是分治法中最常用的技术。
使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

1. 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
2. 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；
3. 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
4. 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。（这条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然也可用分治法，但一般用动态规划较好。）

递归式求时间复杂度(看不懂证明 直接背公式结论)

$T(n)=aT(\frac{n}{b})+O(n^k)$，其中a>0，b>1。
$$T(n)=\{\begin{array}{ll}O(n^k)& a<b^k\\ O(n^{k}lo{g}_{b}n)& a=b^k\\ O(n^{lo{g}_{b}a})& a>b^k\end{array}$$

算法实例

归并排序

private static void mSort(int[] arr, int left, int right) {
   
   
    if (left == right){
   
   
        return;
    }
    // 递归算法 主要负责切片 即把大的数组切成一个小数组
    int mid = left + ((right-left) >> 1);
    mSort(arr, left, mid);
    mSort(arr, mid+1, right);
    merger(arr, left, mid, right);
}
private static void merger(int[] arr, int left, int mid, int right){
   
   
    int[] temp = new int[right-left+1];
    int i = 0;
    int p1 = left; // 指针1从左数组开始遍历
    int p2 = mid + 1; // 指针2从右数组开始遍历
    while (p1 <= mid && p2 <= right){
   
   
        temp[i++] = arr[p1] <= arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
    }
    // 左边还没遍历完
    while (p1 <= mid)