快速幂算法：高效计算大数幂的秘诀

一、什么是快速幂？

        简单易懂一点就是快速计算出一个数的多少次幂，其核心思想是通过将指数分解为二进制形式，将时间复杂度从朴素算法的 O(n) 降低到 O(log n)。

建议查看灵茶山艾府的理解：50. Pow(x, n) - 力扣（LeetCode）

二、使用环境有哪些？

        1、解决需要高效计算幂次的问题，如递推数列、排列组合、矩阵快速幂等。

        2、计算大数的模幂（如 (a^b mod p)），尤其是当 b 极大时（如 (10^{18})）。

三、快速幂

1、快速幂算法

ll qpow(ll x, int n) {
    ll res = 1;
    for (; n; n /= 2) {
        if (n % 2) {
            res = res * x % MOD;
        }
        x = x * x % MOD;
    }
    return res;
}

2、快速幂的核心思想

快速幂的关键在于利用指数的二进制分解，将幂次计算转化为多次平方和乘法。

3、快速幂的步骤

• 分解指数为二进制：将 n 表示为 2 的幂次之和（如 (10 = 2^3 + 2^1)）。

• 逐位处理二进制位：

  • 若当前位为 1，则累乘当前的 x 值；

  • 每次将 x 平方，指数右移一位（相当于除以 2）。