差分数组：高效处理区间更新的秘密武器（力扣3355.零数组变换I）

原创已于 2025-06-19 13:48:36 修改 · 1k 阅读

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#leetcode #算法 #java

于 2025-05-20 14:04:02 首次发布

一、核心定义：用差值记录变化

差分数组 diff 是原数组 nums 的 “变化量数组”，定义为：

diff[0] = nums[0]（首元素差值为自身）
diff[i] = nums[i] - nums[i-1]（后续元素为相邻差值）

例：若 nums = [1, 3, 5]，则 diff = [1, 2, 2]。

原数组可通过 diff 的前缀和还原：1, 1+2=3, 1+2+2=5。

二、关键操作：O (1) 区间更新

若需对原数组区间 [l, r] 内所有元素 加 x，只需修改差分数组的两个端点：

diff[l] += x：标记区间起点，后续元素开始累加 x。
diff[r+1] -= x：标记区间终点的下一位，抵消后续累加（若 r+1 超出数组范围，可忽略）。

原理：通过前缀和计算时，[l, r] 内的元素会包含 x，而 r 之后的元素不受影响。
例：对 nums = [1,3,5] 的区间 [1,2] 加 2：

diff = [1, 2, 2] → 修改后 diff = [1, 4, 0, -2]（假设长度为 4）。
前缀和还原：1, 1+4=5, 5+0=5, 5-2=3 → 原数组变为 [1,5,5]。

三、实战应用：统计区间覆盖次数

题目场景

给定数组 nums 和查询列表 queries，每个查询 [l, r] 表示：在区间 [l, r] 内选择子集减 1。判断能否通过若干次操作将数组变为全零。

核心思路

每个元素 nums[i] 最多可减的次数等于 被查询区间覆盖的次数（记为 cnt[i]）。
若 nums[i] ≤ cnt[i]，则可通过选择子集减 nums[i] 次使其为 0。

差分数组的作用

记录覆盖次数：
每个查询 [l, r] 等价于对区间 [l, r] 的覆盖次数加 1，通过差分数组实现：

diff[l]++;       // 区间起点加1（开始计数）
diff[r+1]--;     // 区间终点的下一位减1（停止计数）

计算前缀和得到覆盖次数：
遍历差分数组，累加得到 sum_d，即当前元素的覆盖次数 cnt[i]。

int sum_d = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
    sum_d += diff[i]; // sum_d 即为 cnt[i]
    if (nums[i] > sum_d) return false; // 覆盖次数不足
}

四、代码实现（C++）3355. 零数组变换 I - 力扣（LeetCode）

class Solution {
public:
    bool isZeroArray(vector<int>& nums, vector<vector<int>>& queries) {
        int n = nums.size();
        vector<int> diff(n + 1, 0); // 差分数组，长度 n+1 处理边界
        
        // 处理所有查询，记录区间覆盖次数
        for (auto& q : queries) {
            int l = q[0], r = q[1];
            diff[l]++;
            diff[r + 1]--;
        }
        
        // 计算前缀和，验证每个元素是否可减为0
        int sum_d = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            sum_d += diff[i]; // 累加得到当前元素的覆盖次数
            if (nums[i] > sum_d) return false; // 次数不足，无法变0
        }
        return true;
    }
};

五、关键总结

差分数组的本质：
- 用端点标记区间操作的 “开始” 和 “结束”，将 O (n) 区间更新优化为 O (1)。
- 通过前缀和快速还原每个位置的实际变化量。
逆向思维：
将 “灵活选择子集减 1” 转化为 “统计覆盖次数”，只需判断 nums[i] 是否不超过覆盖次数。
复杂度优势：
- 处理查询：O (q)，计算前缀和：O (n)，总时间复杂度 O (n + q)，适用于大规模数据。

六、直观示例

输入：nums = [1,0,1], queries = [[0,2]]

差分数组处理：
- 查询 [0,2] → diff[0]++，diff[3]--（忽略越界）→ diff = [1,0,0,0]。
前缀和计算：
- i=0：sum_d=1 → 1≥1，合法。
- i=1：sum_d=1 → 0≤1，合法。
- i=2：sum_d=1 → 1≤1，合法。
  输出：true。