gym102483A Access Points

最新推荐文章于 2025-07-11 13:50:06 发布

原创最新推荐文章于 2025-07-11 13:50:06 发布 · 300 阅读

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本文解析了一道CodeForces平台上的坐标压缩问题，通过数学推导确定最优位置为各段坐标的平均值，并使用栈来维护这些段落，以实现最小化总代价。

https://codeforces.com/gym/102483/problem/A

队友把这题过了，然而我还是研究了半天。。。

首先我们发现距离的长度的平方其实就是横坐标差值的平方+纵坐标差值的平方，所以就可以X,Y分开考虑

然后我们观察发现由于是要坐标递增的，肯定是一段一段相同的位置，对于一段x[i]，假设他们坐标都放在d这个位置，他的代价是sum((x[i]-d)^2)，展开得到sum(x[i]^2)-2sum(x[i]*d)+d^2*num，对后面这个东西对d求导，得到-2sum(x[i])+2*d*num，可知d=sum(x[i])/num时，也就是他们的平均值的时候，可以得到最小代价

由于坐标是要递增的，从前往后扫，当前新增一个点只能新开一段或者跟上一段合并，跟上一段合并以后又可能继续往前合并，我们用一个栈来维护当前这段是否能跟上一段合并得到更小的代价。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Node{
	long long s,n;
};
stack<Node>a;
int x[100010],y[100010];
int main(){
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
	double ans=0;
	a.push({x[1],1});
	for(int i=2;i<=n;i++){
		long long S=x[i],num=1;
		while(!a.empty()&&a.top().s*num>=S*a.top().n){
			S+=a.top().s,num+=a.top().n;
			a.pop();
		}
		a.push({S,num});
	}
	int pos=n;
	while(!a.empty()){
		long long S=a.top().s,num=a.top().n;a.pop();
		double ave=(double)S/num;
		while(num){
			ans+=(ave-x[pos])*(ave-x[pos]);
			num--,pos--;
		}
	}
	a.push({y[1],1});
	for(int i=2;i<=n;i++){
		long long S=y[i],num=1;
		while(!a.empty()&&a.top().s*num>=S*a.top().n){
			S+=a.top().s,num+=a.top().n;
			a.pop();
		}
		a.push({S,num});
	}
	pos=n;
	while(!a.empty()){
		long long S=a.top().s,num=a.top().n;a.pop();
		double ave=(double)S/num;
		while(num){
			ans+=(ave-y[pos])*(ave-y[pos]);
			num--,pos--;
		}
	}
	printf("%.8f",ans);
}