0019算法笔记——【动态规划】0-1背包问题

     1、问题描述：

     给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?

     形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ∋ ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。

       2、最优性原理：

     设(y1,y2,…,yn)是 (3.4.1)的一个最优解.则(y2,…,yn)是下面相应子问题的一个最优解:

     证明:使用反证法。若不然,设(z2,z3,…,zn)是上述子问题的一个最优解,而(y2,y3,…,yn)不是它的最优解。显然有
                                    ∑vizi > ∑viyi   (i=2,…,n)
     且                           w1y1+ ∑wizi<= c
     因此                       v1y1+ ∑vizi (i=2,…,n) > ∑ viyi, (i=1,…,n)
     说明(y1,z2, z3,…,zn)是(3.4.1)0-1背包问题的一个更优解,导出(y1,y2,…,yn)不是背包问题的最优解,矛盾。