博弈论结论总结

最新推荐文章于 2021-12-23 14:44:50 发布

liu_jiangwen

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本文总结了多种博弈论游戏的规则和胜利条件，包括Nim博弈、巴什博奕、威佐夫博弈、anti-Nim、Every-Nim、Moore's Nimk、阶梯Nim和Multi-SG游戏。通过分析每种游戏的结论，提供了理解博弈论游戏策略的关键。

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Nim博弈
有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，拿走最后一颗石子的人赢。
结论：
- 假设当前有 $n$ 堆石子，每堆石子的数量分别为 $a1,a2,⋯ ,ana_1, a_2, \cdots,a_n$ 。则先手必胜当且仅当 $a_1\oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n \neq 0$ 。
- 将局势由 $N - p o s i t i o n$ 转移到 $P - p o s i t i o n$ 的方法：设 $n i m$ 最高位的 $1$ 在从右往左数第 $i$ 位上(从 $0$ 开始)，则只需要将 $a$ 中一个第 $i$ 位为 $1$ 的数变为 $\oplus nim$ 即可。
巴什博奕
有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是“选择一堆石子并拿走 $1 - m$ 颗”，拿走最后一颗石子的人赢。
结论：
1. 假设当前有 $n$ 堆石子，每堆石子的数量分别为 $a1,a2,⋯ ,ana_1, a_2, \cdots,a_n$ 。令 $bi=aimod  (m+1)b_i = a_i \mod (m + 1)$ ，则先手必胜当且仅当 $b_1\oplus b_2 \oplus \cdots \oplus b_n \neq 0$ 。
威佐夫博弈
有两堆各若干个物品，两人轮流从任意一堆中取至少一个或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少去一个，多者不限，最后取光者得胜。
结论：
- 奇异局势： $a_k, b_k)$ ， $a_k$ 为前面没有出现过的最小自然数， $b_k = a_k + k$ 。
- 先手必胜当且仅当当前局势为非奇异局势。
- 对于任给的一个局势 $(a, b)$ ，判断它是否为奇异局势有公式： $ak=⌊k⋅(1+5)2⌋,bk=ak+ka_k = \left \lfloor \frac{k \cdot(1 + \sqrt{5})}{2} \right \rfloor, b_k = a_k + k$ 。可以先求出 $\left \lfloor \frac{k \cdot(\sqrt{5} - 1)}{2} \right \rfloor$ ，若 $\left \lfloor \frac{j \cdot(1 + \sqrt{5})}{2} \right \rfloor$ ，那么 $a = a_j, b_j = a_j + j$ ，若不等于，那么 $a = a_j + 1, b = a_j + j + 1$ ，若都不是，那么就不是奇异局势。
- 任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
- 任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
- 采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。
anti-Nim
有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，拿走最后一颗石子的人输。
结论：
先手必胜当且仅当：
1. 所有堆的石子数量均不大于 $1$ ，且游戏的 $S G$ 值为 $0$ 。
2. 存在石子数量大于 $1$ 的堆，并且游戏的 $S G$ 值不为 $0$ 。
Every-Nim
Every-SG游戏规定，对于所有还没有结束的子游戏，游戏者必须对该子游戏进行操作。除此之外，其他规则与普通SG游戏相同。
结论：
对于SG值为0的点，我们需要知道最快几步能将游戏带入终止状态；对于SG值不为0的点，需要知道最慢几步会被带入终止状态。
我们用 $s t e p$ 来表示这个步数，
$\begin{cases} & 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 为终止状态 \\ & max(step(u)) + 1 \ \ \ \ SG(V) > 0 \wedge u为v的后继状态 \wedge SG(u) = 0 \\ & min(step(u)) + 1 \ \ \ \ \ SG(v) = 0 \wedge u为v的后继状态 \end{cases}$ 先手胜当且仅当最大步数为奇数。
Moore’s Nimk
有 $n$ 堆石子，每次至少选 $1$ 堆，最多选 $m$ 堆，每堆都可以拿任意正数个石子。
结论：将每堆石子的数量写为二进制形式，然后将每一位上的1数量相加后模 $(m + 1)$ ，若每一位上的 $1$ 的数量经过计算后都为 $0$ ，则为必败态。（Nim游戏即为m = 1时的特殊情况）。
阶梯Nim
在阶梯的每一层上有若干个石子，每次可以选择任意层的任意个石子将其移动到下一层，最后不能移动的人输。
结论：对所有奇数阶梯的石子数量做异或运算，若结果为 $0$ 则为必败态。
Multi-SG游戏
在符合规则的前提下，一个单一的子游戏的后继可以为多个子游戏。其它规则与SG游戏相同。
结论:
$\begin{cases} x - 1 & ( x \mod 4 = 0) \\ x & (x \mod4 = 1 \vee 2) \\ x + 1& (x \mod 4 = 3) \end{cases}$