【概率论基础进阶】随机事件和概率-随机事件、事件间的关系与运算

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分类专栏：概率论文章标签：概率论学习

于 2022-09-03 11:36:31 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/liu20020918zz/article/details/126675550

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本文介绍了概率论中的随机试验、随机事件及其关系与运算。详细阐述了事件的定义，包括样本点、样本空间和随机事件，以及事件的包含、相等、互斥和对立关系。此外，还探讨了事件的交、并和差运算，并通过实例解释了这些概念，如至少取到两件次品和最多取到两件正品的事件表示。最后，总结了事件运算的交换律、结合律和分配律等基本规律。

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文章目录

一、随机试验

定义：对随机现象进行观察或实验称为随机试验，简称试验，记作 $E$ ，它具有如下特点

可以在相同的条件下重复进行
每次试验结果可能不止一个，并且能事先明确试验所有可能结果
进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现

$2099$ 年清明节下雨不下雨这不属于随机试验，尽管 $2099$ 年可能下雨也可能不下雨，但这种试验不能在相同的条件下重复进行，因此这不是随机试验

二、随机事件

定义：随机试验的每一可能结果称为样本点，记作 $\omega$ ，由所有样本点全体组成的集合称为样本空间，记作 $\Omega$

显然，样本点是组成样本空间的元素

定义：样本空间的子集称为随机事件，简称事件，常用字母 $A, B, C$ 等表示

随机事件是由样本空间中的元素即基本点组成，由一个样本点组成的子集是最简单的事件，称为基本事件。因此，也可将随机事件看作是由基本事件组成

必然事件，不可能事件

三、事件的关系与运算

事件是一个集合，因而事件之间的关系与运算也是按照集合之间关系与运算的规则进行

$B$ 包含 $A$ ： $\supset A$
有 $\supset B \Rightarrow \bar{A}\subset \bar{B}$

$B$ 等于 $A$ ： $\supset B,B \supset A \Rightarrow A=B$

$A, B$ 的交/积： $\cap B$ 或 $A B$
事件的交可以推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形
$\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n},\bigcap_{i=1}^{+\infty}A_{i}=A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n}\cap \cdots$

$A, B$ 互斥： $AB=\varnothing$
事件的互斥可以推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形。
若 $n$ 个事件 $A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$ 中任意两个事件均互斥，即 $A_{i}A_{j}=\varnothing,i \ne j,i,j=1,2,\cdots,n$ ，则称这 $n$ 个事件是两两互斥或两两互不相容
如果可数无穷多个事件 $A_{1},A_{2},\cdots,A_{n},\cdots$ 中任意两个事件均互斥，即 $A_{i}A_{j}=\varnothing,i \ne j,i,j=1,2,\cdots,n,cs$ ，则称这 $n$ 个事件是两两互斥或两两互不相容

$A, B$ 的并/和： $\cup B$
事件的并可以推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形
$\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n},\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cdots \cup A_{n}\cup \cdots$