拉格朗日插值法

线性插值法

线性插值法是指使用链接两个已知量的直线来确定在这两个已知量之间的一个未知量的值的方法。
假设已知坐标$(x_0,y_0)$与$(x_1,y_1)$，要得到$[x_0,x_1]$区间内某一位置$x$在直线上的值，根据图中所示，得到两点式直线方程：
$$\begin{gathered} \frac{y-y_0}{y_1-y_0}=\frac{x-x_0}{x_1-x_0} \\ y=y_0+\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0) \end{gathered}$$

线性插值近似法：
$$p(x)==f(x_0)+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_0)$$
函数上两点之间的近似随着所近似的函数的二阶导数的增大而逐渐变差。从直观上来看也是这样：函数的曲率越大，简单线性插值近似的误差也越大。
#拉格朗日插值法
对某个多项式，已知有$k+1$个取值点：
$（x_0,y_0）,\dots ,(x_k,y_k)$
其中$x_j$对应自变量的位置，$y_j$对应取值。
对于任意两个不同的$x_j$，拉格朗日插值多项式为：
$$L(x)={\Sigma }_{j=0}^k{y}_i{l}_j(x)$$
其中，每个$l_j(x)$为拉格朗日基本多项式（或称插值奇函数），其表达式为：

$l_j,j=0,1,...,n$之间线性无关。
优点与缺点：
拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐。这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替。此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差。这类现象也被称为龙格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。
#重心拉格朗日插值法
设多项式$l(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_k)$
可将拉格朗日基本多项式重写为：
$$l_j(x)=\frac{l(x)}{x-x_j}\frac{1}{{\Pi }_{i=0,i\ne j}^k(x_j-x_i)}$$
定义重心权：
$$w_j=\frac{1}{{\Pi }_{i=0,i\ne j}^k(x_j-x_i)}$$
则上式简化为：
$$l_j(x)=l(x)\frac{w_j}{x-x_j}$$
拉格朗日多项式变为：
$$L(x)=l(x){\Sigma }_{j=0}^k\frac{w_j}{x-x_j}{y}_j$$
上式即为重心拉格朗日插值多项式（第一型）或改进拉格朗日插值公式。
将以上拉格朗日插值多项式用来对函数$g(x)\equiv 1$插值，得到：
$$\forall x,g(x)=l(x){\Sigma }_{j=0}^k\frac{w_j}{x-x_j}$$
因为$g(x)\equiv 1$是个多项式
因此将$L（x）$除以$g(x)$后得：
$$L(x)=\frac{{\Sigma }_{j=0}^k\frac{w_j}{x-x_j}{y}_j}{{\Sigma }_{j=0}^k\frac{w_j}{x-x_j}}$$
这个公式被称为重心拉格朗日插值公式（第二型）或真正的重心拉格朗日插值公式。它继承了（1）式容易计算的特点，并且在代入$x$值计算$L(x)$的时候不必计算多项式$l(x)$, 第一型拉格朗日插值是向后稳定的，而第二型拉格朗日插值是向前稳定的。