bzoj3028 食物生成函数+广义二项式定理_bzoj 广义二项式定理-优快云博客

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本文通过一系列有趣的食物生成函数，展示了如何使用生成函数理论来解决组合计数问题，并给出了具体的食物组合数量计算公式。

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首先我们有一些函数推收敛式的套路。

（这些是知名伪证，结论是对的，但是证明过程是胡扯）比如对于 $y=1+x+x^2$ ，我们知道 $xy=x+x^2+x^3$ ，所以有 $xy-x^3=y-1$ ，即 $y=1−x31−xy=\frac{1-x^3}{1-x}$ 。用类似的方法，我们还可以知道 $∑i=0inf=11−x\sum_{i=0}^{inf}=\frac{1}{1-x}$ 等。

然后我们写一下所有食物的生成函数：
汉堡： $∑i=0infx2i=11−x2\sum_{i=0}^{inf} x^{2i} =\frac{1}{1-x^2}$
可乐： $1 + x$
鸡腿： $1+x+x2=1−x31−x1+x+x^2=\frac{1-x^3}{1-x}$
蜜桃多： $∑i=0infxi−∑i=0infx2i=x1−x2\sum_{i=0}^{inf} x^i -\sum_{i=0}^{inf} x^{2i}=\frac{x}{1-x^2}$
鸡块： $∑i=0infx4i=11−x4\sum_{i=0}^{inf} x^{4i}=\frac{1}{1-x^4}$
包子： $1+x+x2+x3=1−x41−x1+x+x^2+x^3=\frac{1-x^4}{1-x}$
土豆： $1 + x$
面包： $∑i=0infx3i=11−x3\sum_{i=0}^{inf}x^{3i}=\frac{1}{1-x^3}$

把它们全部乘起来得： $x(1−x)4\frac{x}{(1-x)^4}$ ，在这个多项式中， $n$ 次项的系数就是选 $n$ 个食物的方案数。
将 $1-x)^{-4}$ 展开。根据广义二项式定理，我们知道 $k$ 次项的系数为 $(−1)k(−4k)(-1)^k(^k_{-4})$ ，而
$(kn)=∏i=0k−1(n−i)k!(_k^n)=\frac{\prod_{i=0}^{k-1} (n-i)}{k!}$
所以 $1-x)^{-4}$ 的 $n$ 次项系数为 $(n+1)(n+2)(n+3)6\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}$ 。又因为原多项式还要乘以一个 $x$ ，所以它的 $n$ 次项系数，也就是答案，就是 $n(n+1)(n+2)6\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$
然后边读入边取模什么的一下子就搞出来了。