loj2264/洛谷P3773/bzoj4903 吉夫特组合数奇偶判定_组合数是奇数的充要条件-优快云博客

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本文介绍了一种高效判断组合数是否为奇数的方法，并给出了具体的数学推导过程。利用该方法可以快速确定组合数的奇偶性，进而解决特定的计数问题。

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~~解题思路：B君出的题，不可做~~
如何判断组合数是否是奇数？
首先， $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ ，假设 $n!$ 的2因子数为 $a$ ， $k!$ 的2因子数是 $b$ ， $(n-k)!$ 的2因子数为 $c$ ，那么如果 $C_n^k$ 是奇数，则 $a=b+c$
怎么求出 $x!$ 的2因子个数呢？首先我们可以将x除以2，相当于一个提取公因数的过程，而那些不能被2整除的项就会被丢掉，于是剩下来的是 $2*(\frac{x}{2}!)$ ，一直这样处理下去，得到答案为

f (x) = \sum i = 1 \infty x 2 i

$f(x)=\sum_{i=1}^{ \infty} \frac{x}{2^i}$
我们设

g(x)=xg(x)=x $g(x)=x$ ，那么

g(x)=g(x2)+x2+(xmod2)=∑∞i=1x2i+g(x)=g(x2)+x2+(xmod2)=∑i=1∞x2i+ $g(x)=g(\frac{x}{2})+\frac{x}{2}+(x\bmod 2)=\sum_{i=1}^{ \infty} \frac{x}{2^i}+$ (x在二进制下1的个数）
所以

x!x! $x!$ 的2因子个数就是(x-x在二进制下1的个数)
那么

CknCnk $C_n^k$ 是奇数的条件即为：n在二进制下1的个数=k在二进制下1的个数+(n-k)在二进制下1的个数。
假设二进制下，n拥有的某一个1，k并没有，那么：
n: …0…
k: …1…
n-k: …11….
会发现k和(n-k)二进制下1的个数和一定会大于n，所以必须k所有的1 n都拥有才能符合条件，综上，

CknCnk $C_n^k$ 是奇数的条件为：(n&k)=k
那么后面的事情就简单了，设

fifi $f_i$ 表示以

aiai $a_i$ 开头的子序列个数，用桶存每一个

aiai $a_i$ 出现的位置

ii $i$ 。计算

f_{i}

$f_i$ 时，考虑下一个放什么，也就是枚举

aiai $a_i$ 的子集，判断这个数是否在

ii $i$ 后面，然后统计方案即可。
复杂度是

O (3^{\log m a x a})

$O(3^{\log maxa})$ 的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define RI register int
int read() {
    int q=0;char ch=' ';
    while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') q=q*10+ch-'0',ch=getchar();
    return q;
}
const int N=240000,mod=1000000007;
int a[N],T[N],f[N];
int n,ans;
int qm(int x) {return x>=mod?x-mod:x;}
int main()
{
    n=read();
    for(RI i=1;i<=n;++i) a[i]=read(),T[a[i]]=i;
    for(RI i=n;i>=1;--i) {
        f[i]=1;
        for(RI j=a[i]&(a[i]-1);j;j=a[i]&(j-1))
            if(T[j]>i) f[i]=qm(f[i]+f[T[j]]);
        ans=qm(ans+f[i]);
    }
    ans=(ans-n+mod)%mod;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}