【概率与期望】练习题

题目描述

Robert站在原点，手握两枚质量不均匀的硬币。抛掷第一枚正面朝上的概率为p，抛掷第二枚正面朝上的概率为q。
Robert开始抛掷第一枚硬币，每次抛到反面就往x轴正方向走一步，直到抛到正面。
接下来Robert继续抛掷第一枚硬币，每次抛到反面就往y轴正方向走一步，直到抛到正面。
现在Robert想回来了，于是他开始抛第二枚硬币，抛到正面就往x轴负方向走一步，抛到反面就往y轴负方向走一步。
求Robert回到原点的概率。

题目分析

走到任意点(x,y)的概率是$(1-p)^{x+y}*p^2$
从(x,y)再走回原点的概率是$q^x*(1-q)^y*C_{x+y}^x$
所以：
$ans=\sum_{x=0}^{oo}\sum_{y=0}^{oo}(1-p)^{x+y}*p^2*q^x*(1-q)^y*C_{x+y}^x$
现在我们枚举x+y和x：
$ans=\sum_{i=0}^{oo}\sum_{x=0}^{i}(1-p)^i*p^2*q^x*(1-q)^{i-x}*C_i^x$
$=\sum_{i=0}^{oo}p^2(1-p)^i\sum_{x=0}^{i}q^x*(1-q)^{i-x}*C_i^x$
$=\sum_{i=0}^{oo}p^2(1-p)^i((1-q)^i\sum_{x=0}^i(\frac{q}{1-q})^x*C_i^x)$
根据二项式定理可得：
$=\sum_{i=0}^{oo}p^2(1-p)^i((1-q)^i*(\frac{q}{1-q}+1)^i)$
$=p^2\sum_{i=0}^{oo}(1-p)^i$
假设$S=\sum_{i=0}^{oo}(1-p)^i$
那么$(1-p)S=\sum_{i=1}^{oo}(1-p)^i$
上式减下式可得：
$S=\frac{1}{p}$
所以答案就是p。