Codeforces 570E，DP+滚动数组

计算通过特定字母矩阵形成回文字符串的路径数量

最新推荐文章于 2022-01-13 21:19:51 发布

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本文探讨了一个数学问题，即在给定的字母矩阵中，从左上角到右下角的路径中，有多少条路径上的字母可以组成回文字符串。通过动态规划方法解决此问题，并提供了代码实现。

题意：

给定一个n*m的方格，每个各自节点都是一个小写字母（范围‘a’~'z'），现在从左上角（0,0）点出发，到右下角（n-1,m-1）点停止。

问经过的路径，有多少条路径上的字目可以构成回文字符串。

范围：1<=n,m<=500

题解：

分析：

想象成两个人（A和B），分别从起点和终点出发，当他俩相遇时，走过的路径相同的走法的数量。

dp[step][i][j]：表示走了step步时，A走到第i行，B走到第j行时，走到当前位置可以形成回文串的数量。

状态转移：

dp[step][i][j]=dp[step-1][i-1][j]+dp[step-1][i-1][j+1]+dp[step-1][i][j+1]+dp[step-1][i][j]；

还要注意的是：

最后求结果ans的时候，要考虑路径长度的奇偶性，如果是奇数，最后两个人停在了同一点，若是偶数，两个人最后停的不是同一个点。

step状态只由step-1状态得到，所以为了节省空间，这里采用滚动数组的方式来进行优化。

但是滚动数组在用的时候，要注意每次循环都得初始化。由于这个原因，我在这里卡了较长时间。

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define N 510
typedef long long LL;
LL Mod=1000000007;
int n,m;
LL dp[2][N][N],ans;
char s[N][N];
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%s",s[i]);
        ans=0;
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        int y1,y2;
        if(s[0][0]==s[n-1][m-1]) dp[1&1][0][n-1]=1;
        int Len=(n+m-1)/2+(n+m-1)%2;
        for(int stp=2;stp<=Len;stp++)
        {
            for(int i=0;i<n;i++)
            {
                y1=stp-1-i;
                if(y1<0) break;
                for(int j=n-1;j>=0;j--)
                {
                    dp[stp&1][i][j]=0; //滚动数组，注意在每次循环过程中的初始化
                    y2=n-1+m-stp-j;
                    if(y2>m-1) break;
//                    printf("stp=%d i=%d y1=%d j=%d y2=%d\n",stp,i,y1,j,y2);
                    if(s[i][y1]==s[j][y2])
                    {
                        if(i-1>=0&&j+1<=n-1)
                            dp[stp&1][i][j]=(dp[stp&1][i][j]+dp[(stp-1)&1][i-1][j+1])%Mod;
                        if(i-1>=0&&y2+1<=m-1)
                            dp[stp&1][i][j]=(dp[stp&1][i][j]+dp[(stp-1)&1][i-1][j])%Mod;
                        if(y1-1>=0&&j+1<=n-1)
                            dp[stp&1][i][j]=(dp[stp&1][i][j]+dp[(stp-1)&1][i][j+1])%Mod;
                        if(y1-1>=0&&y2+1<=m-1)
                            dp[stp&1][i][j]=(dp[stp&1][i][j]+dp[(stp-1)&1][i][j])%Mod;
//                        printf("%c %c dp[%d][%d][%d]=%I64d\n\n",s[i][y1],s[j][y2],stp,i,j,dp[stp&1][i][j]);


                    }
                }
            }
        }
        for(int i=0;i<n;i++)
            ans=(ans+dp[Len&1][i][i])%Mod;
        if((n+m-1)%2==0)
        {
            for(int i=0;i<n;i++)
            ans=(ans+dp[Len&1][i][i+1])%Mod;
        }
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}