西瓜书_chapter11_特征选择与稀疏学习

11.1 子集搜索与评价

如果我们想从特征集合中选区一个包含了所有重要信息的特征子集，如果我们没有任何先验知识，那么就只能遍历可能的子集，这会带来很高的计算复杂度；可行的一种做法是先产生一个“候选子集"，评价它的好坏，然后在此基础之上产生下一个子集。这里涉及到两个关键环节，一是如何根据评价结果选择下一个候选子集，二是如何评价子集的好坏。
第一个环节是子集搜索，给定特征集合 { a 1 , a 2 , . . . , a d } \{a_1,a_2,...,a_d\} { a1​,a2​,...,ad​}，我们可以将每个特征看作一个候选子集，对这$d$个候选单特征子集进行评定，假如 { a 2 } \{a_2\} { a2​}最优，那么我们就把 { a 2 } \{a_2\} { a2​}作为第一轮的选定集；然后，在上一轮选定集中加入一个特征，构成两个特征的候选子集，我们假定 { a 2 , a 4 } \{a_2,a_4\} { a2​,a4​}最优且优于 { a 2 } \{a_2\} { a2​}，那么我们就得到了新的候选子集，以此类推。这是一种前向搜索。我们也可以从完整的属性集合开始，每次去掉一个无关的特征，这样的方法叫后向搜索。#这个和决策树的生成很像。
显然，这个策略是贪心的。
第二个环节是子集评价，给定数据集$D$，我们可以计算属性子集的信息增益
$$Gain(A)=Ent(D)-\sum _{v=1}^V\frac{|D^v|}{|D|}Ent(D^v)$$
更一般地，特征子集$A$实际上确定了对数据集$D$的一个划分，而样本标记信息$Y$也对应着$D$的真实划分，我们对两个划分进行对比，也能对$A$进行评价。
常见的特征选择方法大体上分为三类：过滤式、包裹式、嵌入式

11.2 过滤式选择

过滤式方法先对数据集进行特征选择，然后训练学习器，特征选择过程与后续学习器无关。这相当于先用特征选择过程对初始特征进行过滤，再用过滤后的特征来训练模型。
Relief是一种著名的过滤式选择方法，我们先来描述这个算法工作流程，我们先定义一个向量$\delta$。给出训练集 { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , . . . , ( x m , y m ) } \{(\mathbf{x_1},y_1),(\mathbf x_2,y_2),...,(\mathbf x_m,y_m)\} { (x1​,y1​),(x2​,y2​),...,(xm​,ym​)}，对每个示例${\mathbf{x}}_i$，Relief先在${\mathbf{x}}_i$的同类样本中寻找其最近邻${\mathbf{x}}_{i,nh}$，称为猜中近邻；再从它的异类样本中寻找最近邻${\mathbf{x}}_{i,nm}$，称为猜错近邻，对于属性$j$
$${\delta }^j=\sum _i-dif{f}^2({\mathbf{x}}_i^j,{\mathbf{x}}_{i,nh}^j)+dif{f}^2({\mathbf{x}}_i^j,{\mathbf{x}}_{i,nm}^j)$$
其中$diff$的体现了两个样本对应属性的差异性，对于离散属性，我们可以取0/1，对连续属性，我们可以作差取绝对值。我们可以看到，如果同类样本越近，异类样本越远，向量对应位置的值的增益越大，也就是这个属性对分类越有用。#最后，通常要对上式进行平均。
扩展到多分类问题，
δ j = ∑ i − d i f f 2 ( x i j , x