leetcode 365. Water and Jug Problem_怎么往5升瓶中装4升水-优快云博客

本文探讨了给定两个容量不同的水罐如何准确测量特定水量的问题。通过数学方法验证了解的存在性，并提供了一个简洁的C++实现。

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365 . Water and Jug Problem

You are given two jugs with capacities x and y litres. There is an infinite amount of water supply available. You need to determine whether it is possible to measure exactly z litres using these two jugs.

If z liters of water is measurable, you must have z liters of water contained within one or both buckets by the end.

Operations allowed:

Fill any of the jugs completely with water.
Empty any of the jugs.
Pour water from one jug into another till the other jug is completely full or the first jug itself is empty.

Example 1: (From the famous "Die Hard" example)

Input: x = 3, y = 5, z = 4
Output: True

Example 2:

Input: x = 2, y = 6, z = 5
Output: False

有一个容量为3升和一个容量为5升的水罐，问我们如何准确的称出4升的水。我想很多人都知道怎么做，先把5升水罐装满水，倒到3升水罐里，这时5升水罐里还有2升水，然后把3升水罐里的水都倒掉，把5升水罐中的2升水倒入3升水罐中，这时候把5升水罐解满，然后往此时有2升水的3升水罐里倒水，这样5升水罐倒出1升后还剩4升即为所求。这个很多人都知道，但是这道题随意给我们了三个参数，问有没有解法，这就比较难了。这里我就照搬网上大神的讲解吧：

这道问题其实可以转换为有一个很大的容器，我们有两个杯子，容量分别为x和y，问我们通过用两个杯子往里倒水，和往出舀水，问能不能使容器中的水刚好为z升。那么我们可以用一个公式来表达：

z = m * x + n * y

其中m，n为舀水和倒水的次数，正数表示往里舀水，负数表示往外倒水，那么题目中的例子可以写成: 4 = (-2) * 3 + 2 * 5，即3升的水罐往外倒了两次水，5升水罐往里舀了两次水。那么问题就变成了对于任意给定的x,y,z，存不存在m和n使得上面的等式成立。

根据裴蜀定理，ax + by = d的解为 d = gcd(x, y)，那么我们只要只要z % d == 0，上面的等式就有解，所以问题就迎刃而解了，我们只要看z是不是x和y的最大公约数的倍数就行了，别忘了还有个限制条件x + y >= z，因为x和y不可能称出比它们之和还多的水。

注意：求最大公约数的代码

int gcd(int x, int y) //求最大公约数
{
if (y == 0) return x;
return gcd(y, x % y);
}

class Solution {
public:
    bool canMeasureWater(int x, int y, int z) 
    {
        return z == 0 || (x + y >= z && z % gcd(x, y) == 0);    
    }
    
    int gcd(int x, int y)   //求最大公约数
    {
        if (y == 0) return x;
        return gcd(y, x % y);
    }
};

参考：https://www.cnblogs.com/grandyang/p/5628836.html