所有背包问题代码总结 C++

01背包问题

在n个物品中挑选若干物品装入背包，最多能装多满？假设背包的大小为m，每个物品的大小为A[i]

 注意事项

你不可以将物品进行切割。

如果有4个物品[2, 3, 5, 7]

如果背包的大小为11，可以选择[2, 3, 5]装入背包，最多可以装满10的空间。

如果背包的大小为12，可以选择[2, 3, 7]装入背包，最多可以装满12的空间。

函数需要返回最多能装满的空间大小。

01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值（本题也是重量）。Wi表示第i件物品的重量。

决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗 ？

O(m * n) 时间复杂度

O(m * n)空间复杂度

class Solution {
public:
    /**
     * @param m: An integer m denotes the size of a backpack
     * @param A: Given n items with size A[i]
     * @return: The maximum size
     */
    int backPack(int m, vector<int> A) 
    {
        int k = A.size();
        int f[k][m + 1] = {0};
        for (int i = 0; i < k; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= m; j++)
            {
                if (i == 0)
                {
                    f[i][j] = (j >= A[i]) ? A[i] : 0;
                    continue;
                }
                if (j >= A[i])
                    f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-A[i]] + A[i]);  
                else
                    f[i][j] = f[i-1][j];
            }
        }
        return f[k-1][m];
    }
};

O(m * n) 时间复杂度

O(m)空间复杂度

下面就是01背包问题的标准答案。

W 是物品重量

V是物品价值。返回的是最大价值。

特点就是里面的for循环是从大到小。

class Solution {
public:
    int backPack(int m, vector<int> W, vector<int> V)
    {
        int k = W.size();
        vector<int> f(m + 1, 0);
        
        for (int i = 0; i < k; i++)
        {
            for (int j = m; j >= W[i]; j--)
            {
                f[j] = max(f[j], f[j - W[i]] + V[i]);
            }
        }
        return f[m];
    }
};

完全背包问题

容量为10的背包，有5种物品，每种物品数量无限，其重量分别为5，4，3，2，1，其价值分别为1，2，3，4，5。 
设计算法，实现背包内物品价值最大。 

W是物品的重量的数组，V是物品价值的数组。

特点就是里面的for循环是从小到大。

int backPack(int T, vector<int> W, vector<int> V)
{
    int f[T + 1] = {0};
    for (int i = 0; i < W.size(); i++)
    {
        for (int j = w[i]; j <= T;j++)
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);
        }
    }
    return f[T];
}

多重背包问题

容量为10的背包，有5种物品，每种物品数量分别为1，2，1，2，1，其重量分别为5，4，3，2，1，其价值分别为1，2，3，4，5。 
设计算法，实现背包内物品价值最大。

W是重量的数组。

cot是数量的数组

V是价值的数组

特点是：中间加了一个cot的循环，最里面的循环是从大到小遍历

int backPack(int T, vector<int> W, vector<int> cot, vector<int> V)
{
    int f[T + 1] = {0};
    for (int i = 0; i < W.size(); i++)
    {
        for (int k = 1; k <= cot[i]; k++)
        {
            for (int j = T; j >= w[i]; j--)
            {
                f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);
            }
        }
    }
    return f[T];
}