错排公式推导

错排公式满足递推公式为：D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2))，D(1)=0，D(2)=1

可以得到：

错排公式为：D(n)=n![1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^n*1/n!]

错排公式推导：(自己的推导，那些高中大学的学长就不要嘲笑本初三蒟蒻)

∵D(1)=1![1-1/1!]=0，D(2)=2![1-1/1!+1/2!]=1

∴n=1,2时满足错排公式n(*≧▽≦*)n

∵D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2))

            =(n-1){(n-1)![1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^(n-1)*1/(n-1)!]+(n-2)![1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^(n-2)*1/(n-2)!]}

            =(n-1)!{(n-1)[1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^(n-1)*1/(n-1)!]+[1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^(n-2)*1/(n-2)!]}

            =(n-1)!{n[1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^(n-1)*1/(n-1)!]-(-1)^(n-1)*1/(n-1)!}

            =n![1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^(n-1)*1/(n-1)!]-(-1)^(n-1)

            =n![1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^(n-1)*1/(n-1)!]+(-1)^n

            =n![1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^(n-1)*1/(n-1)!+(-1)^n*1/n!]

∴n-1,n-2满足错排公式时,n满足错排公式n(*≧▽≦*)n

∴满足错排公式n(*≧▽≦*)n

∴推导完了......