高等数学（下）重积分

1 二重积分的概念与性质

1.1 二重积分的概念

$$\int _ D f(x, y) d \sigma = \lim _ {\lambda \to 0} \sum _ {i = 1} ^ {n} f(\xi _ i, \eta _i) \Delta \sigma _ i$$

其中$f(x, y)$ 叫做被积函数, $f(x, y)d\sigma$叫做被积表达式，$d\sigma$叫做面积元素，$x$与$y$叫做积分变量，$D$叫做积分区域，$\sum _ {i = 1} ^ {n} f(\xi _ i, \eta _i) \Delta \sigma _ i$叫做积分和。

1.2 二重积分的性质

1.2.1 积分可加性

$$\iint _ D k f(x, y) d \sigma = k \iint _ D f(x, y) d \sigma,k是常数$$

1.2.2 积分可数乘

$$\iint _ D [f(x, y) \pm g(x, y)] d \sigma = \iint _ D f(x, y) d \sigma \pm \iint _ D g(x, y) d \sigma$$

1.2.3 区域可加性

设区域$D$是由 $D_1 D_2$ 组成，且 $D_1 D_2$ 除边界点外无其他交点，则

$$\iint _ D f(x, y) d \sigma = \iint _ {D_1} f(x, y) d \sigma + \iint _ {D_2} f(x, y) d \sigma$$

1.2.4 比较定理

若在区域$D$内有$f(x, y) \le g(x, y)$,则$\iint _ D f(x, y) d \sigma \le \iint _ D g(x, y) d \sigma$

特别地， |∬