43. Multiply Strings

最新推荐文章于 2024-04-28 07:28:07 发布

eric--lin

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本文介绍了多种大数乘法的高效算法，包括最简单的模拟手算方法、分治乘法（如Karatsuba乘法）、快速傅里叶变换FFT、中国剩余定理及Furer's algorithm，并提供了一段模拟手算法的实现代码。

大数乘法的主要解法如下：

解法：
0、最简单的模拟手算的方法（O(N^2)）
1、分治乘法（最简单的是Karatsuba乘法(http://blog.youkuaiyun.com/sunnyyoona/article/details/43234889)，一般化以后有Toom-Cook乘法）；
2、快速傅里叶变换FFT(为了避免精度问题，可以改用快速数论变换FNTT)，时间复杂度O(NlgNlglgN)。具体可参照Schönhage；
3、中国剩余定理（把每个数分解到一些互素的模上，然后每个同余方程对应乘起来就行）；
4、刚看到一个在渐进意义上FNTT还快的算法Furer’s algorithm，不过好像不太实用。下面的reference[3]给出了模运算的版本。

模拟手算法代码如下：

public class Solution {
    public String multiply(String num1, String num2) {
        int[] result = new int[num1.length() + num2.length()+1];
        boolean resultNegative = false;
        if (num1.startsWith("-")){
            resultNegative = !resultNegative;
            num1 = num1.substring(1);
        }
        if (num2.startsWith("-")){
            resultNegative = !resultNegative;
            num2 = num2.substring(1);
        }

        int tmp1 = 0, i = 0, j = 0, ii = 0, jj = 0, carry = 0;
        //two positive num(string) multiply
        for(ii = num1.length() - 1; ii >= 0; ii --){  //index of string
            carry = 0;
            for(jj = num2.length() - 1; jj >= 0; jj --){
                i = num1.length() - 1 - ii;
                j = num2.length() - 1 - jj;
                tmp1 = result[i+j] + (num1.charAt(ii) - '0') * (num2.charAt(jj) - '0') + carry;
                result[i+j] = tmp1 % 10;
                carry = tmp1 / 10;
            }
            result[i+j+1] += carry; //deal with the maximum carry. 
        }

        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        boolean startZero = true;
        for (i = num1.length() + num2.length(); i >= 0; i --){
            if (startZero == true){
                if (result[i] != 0){
                    sb.append(result[i]);
                    startZero = false;
                }
            }else{
                sb.append(result[i]);
            }
        }
        if (sb.length() != 0 && resultNegative == true)
            sb.insert(0, '-');
        if (sb.length() != 0){
            return sb.toString();
        }else
            return "0";
    }
}