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JZOJ 3442. 【NOIP2013模拟】期望异或其实答案就是 ∑∑i⊕jn2×(1−p)+∑i⊕f(i)n×p\frac{\sum\sum{i\oplus j}}{n^2}\times (1-p)+\frac{\sum i\oplus f(i)}{n}\times pn2∑∑i⊕j​×(1−p)+n∑i⊕f(i)​×p。上述式子有 f(i)f(i)f(i) 为 另一个与 iii 异或成最大值的数。第一部分考虑拆位，每一位单独算期望。那么比较显然我们要求 000 到 n−1n-1n−1 中某一

JZOJ 4888. 【NOIP2016提高A组集训第14场11.12】最近公共祖先注意到每一层的结点作为 lca 的贡献是相同的。设当前的结点的深度为 ddd， 深度为 ddd 的子树大小为 szdsz_dszd​。那么这个结点的贡献是 szd+12k(k−1)+2szd−1sz_{d+1}^2k(k-1)+2sz_d-1szd+12​k(k−1)+2szd​−1。比较显然的 szd=∑i=dn−1ki−dsz_d=\sum_{i=d}^{n-1}{k^{i-d}}szd​=∑i=dn−1​ki−

NOI2018 屠龙勇士 题解不定方程考虑一个不定方程ax+by=cax+by=cax+by=c如何解。首先裴蜀定理说明了当(a,b)∣c(a,b)\mid c(a,b)∣c时，上面的不定方程才有解。考虑设x=x2c(a,b)x=x_2\frac{c}{(a,b)}x=x2​(a,b)c​，y=y2c(a,b)y=y_2\frac{c}{(a,b)}y=y2​(a,b)c​。ax+by=cax2c(a,b)+by2c(a,b)=(a,b)c(a,b)ax2+by2=(a,b)ax+by=c\\

洛谷 P1494 [国家集训队]小Z的袜子 题解题目：在此。考虑贡献。一段区间是(l,r)(l,r)(l,r)，那么总选择数是Cr−l+12C^2_{r-l+1}Cr−l+12​。设有kkk个不同颜色，第iii个有aia_iai​次，那么这一个的贡献是Cai2C_{a_i}^2Cai​2​。所以答案为∑Cai2Cr−l+12\frac {\sum C_{a_i}^2}{C_{r-l+1}^2}Cr−l+12​∑Cai​2​​。莫队维护Cai2C_{a_i}^2Cai​2​。具体，假设某种颜色原

JZOJ 1306. Sum题目大意有一个序列aaa长度为nnn，要找到一段区间的和模ppp大于等于kkk，问这些符合条件的和的最小值。解题思路设si=∑j=1iajmod  ps_i=\sum_{j=1}^i{a_j}\mod psi​=∑j=1i​aj​modp。暴力不说了，直接枚举两个端点。我们发现一个问题，这里要用到模运算，不能用线段树较好的维护。从j+1j+1j+1到iii的所有数的和是si−sjmod  ps_i-s_j\mod psi​−sj​modp。上面这个式子，有两种情况

【五校联考1day1】已经没有什么好害怕的了 题解看一个例子()()()()，在结尾加上(。上面这个图就是表示了红色的数字就是下一个左括号的红色数字加一（右括号的数字为111），新加的左括号为111；蓝色数字就是上一个左括号的蓝色数字减一（右括号的数字为−1-1−1），第一个左括号为−1-1−1。然后其实就是递推求出这些数字。而红蓝色数组的和就是一个差分数组，表示这一个数与上一个数的差值，所以就前缀和一下边算边计算答案。怎么证明上述方法是正确的呢？下面设红色数组为aaa，蓝色为bbb。则a1+b1

矩阵乘法详解矩阵乘法详解矩阵矩阵乘法乘方矩阵乘法详解矩阵对于一个n×mn\times mn×m的矩阵AAA，这个矩阵有nnn行mmm列。如：假设A=[0−110]A=\begin{gathered}\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\quad\end{gathered}A=[01​−10​]​，则n=2,m=2n=2,m=2n=2,m=2。矩阵乘法对于一个n×mn\times mn×m矩阵AAA和m×qm\times

交流-题解（容斥原理+组合数）原题在此。题目大意给你nnn个字符串，其中选择kkk个，如果合法则将’?’变成字符（262626个都可以，前提是合法）构成一个只含小写字母的字符串，求可以变成多少种字符串。合法要求：一个位置上要不只有一种小写字母，要不是’?’。解法：可以用状压dpdpdp或者容斥原理+组合数完成。具体内容首先铺垫三个内容：交集、并集、集合大小。交集用符号∩\cap∩表示，表示几个集合中都有的元素。并集用符号∪\cup∪表示，表示几个集合中所有的元素（不算重复的）。集

2020.08.07【NOIP提高组】模拟：排列 总结Description一个关于nnn个元素的排列是指一个从{1,2,…,n}\{1, 2, …, n\}{1,2,…,n}到{1,2,…,n}\{1, 2, …, n\}{1,2,…,n}的一一映射的函数。这个排列ppp的秩是指最小的kkk，使得对于所有的i=1,2,…,ni = 1, 2, …, ni=1,2,…,n，都有p(p(…p(i)…))=ip(p(…p(i)…)) = ip(p(…p(i)…))=i（其中，ppp一共出现了kkk次）。例

2020.08.08【NOIP提高组】模拟：奶牛的图片 总结DescriptionFarmer John希望给他的N(1≤N≤100,000)N(1\leq N\leq100,000)N(1≤N≤100,000)只奶牛拍照片,这样他就可以向他的朋友炫耀他的奶牛.这N只奶牛被标号为1...N1...N1...N.在照相的那一天,奶牛们排成了一排.其中第iii个位置上是标号为ci(1≤ci≤N)c_i(1\leq c_i\leq N)ci​(1≤ci​≤N)的奶牛.对于奶牛的站位,Farmer John有

2020.08.08【NOIP提高组】模拟：奶牛编号 总结Description作为一个神秘的电脑高手，Farmer John 用二进制数字标识他的奶牛。然而，他有点迷信，标识奶牛用的二进制数字，必须只含有KKK位“111”(1≤K≤10)(1\leq K\leq10)(1≤K≤10)。 当然，每个标识数字的首位必须为“111”。FJ按递增的顺序，安排标识数字，开始是最小可行的标识数字（由“111”组成的一个KKK位数）。不幸的是，他没有记录下标识数字。请帮他计算，第NNN个标识数字(1≤N≤10

2020.08.04【NOIP提高组】模拟：Lala买面包 总结Description众所周知，lala是一名非常喜欢看天线宝宝拉拉吃面包的高中生，在经过无数次的重播那堪称经典的画面之后，lala终于感到看不下去了，决定自己也去吃回面包。于是lala来到了一家面包店，但由于这家面包店的面包实在太多了，lala难以选择该买哪些面包，但这自然难不倒机智的lala，他先给每种面包定了一个美味度，并只购买美味度能表示成xpx^pxp(x，p均为大于等于2的正整数)的面包，但即便如此，lla还是难以快速地知道该

栈解题方法这道题目是动态规划。可以得动规方程fi=fi−1∗(i∗4−2)(i+1)f_i=\frac{f_{i-1}*(i*4-2)}{(i+1)}fi​=(i+1)fi−1​∗(i∗4−2)​。

第二题：简单游戏解题方法这道题目是数学。直接找规律吧。

二项式展开式 题解题目在这里。解题方法本题的提示写了：(a+b)n(a+b)^n(a+b)n展开式的第i+1i+1i+1项为an−ibia^{n-i}b^ian−ibi，前面的系数为CniC^{i}_{n}Cni​。注：0≤i≤n0\leq{i}\leq{n}0≤i≤n。什么是CniC^{i}_{n}Cni​呢？其实就是第i+1i+1i+1行的杨辉三角。杨辉三角如下：其中ai,j=ai−1,j+ai−1,j−1a_{i,j}=a_{i-1,j}+a_{i-1,j-1}ai,j​=ai−1

奇数统计 题解题目在这里。解题方法我们发现a⨁a=0a\bigoplus a=0a⨁a=0且a⨁0=aa\bigoplus0=aa⨁0=a，并且发现异或运算可以用交换律。那么其实偶数最终都会变成000，奇数会变成它本身。所以直接全部数异或一遍即可。...

圆圈 题解题目在这里。解题方法首先这道题目要求有多少个点在半径为rrr的圆里面。将其转述为，判断一个点(x,y)(x,y)(x,y)是否在半径为rrr的圆里面。怎么判断呢？如下图我们知道点(x,y)(x,y)(x,y)处于绿色线和红色线交错的位置。则红色线的长度是x2+y2\sqrt{x^2+y^2}x2+y2​。因为红色线的长度等于黑色线的长度，所以我们只需要判断黑色线的长度是否小于等于圆的半径即可，如果满足，就代表此点在圆中。也就是判断x2+y2≤r2x^2+y^2\leq{r^

chesschesschess 题解题目这里。解题方法找规律，可以发现答案为2n+2m−22^n+2^m-22n+2m−2。所以直接用高精度做。

h2oh2oh2o 题解题目这里。解题方法可以发现答案为∑i=1n+1i\begin{aligned}\sum_{i=1}^{n+1}{i}\end{aligned}i=1∑n+1​i​，时间复杂度为O(n)O(n)O(n)，不能过。用求和公式简化，注：下面的sss表示总和，aaa表示首项，bbb表示末项，ccc表示项数。则s=(a+b)×c2s=\frac{(a+b)\times c}{2}s=2(a+b)×c​。那么答案就是(n+1)(n+2)2\frac{(n+1)(n+2)}{2}2(

恐怖分子 题解题目解题方法这道题目的解题方法是斜率和贪心。我们知道一个直线的斜率为yi−yjxi−xj\frac{y_i-y_j}{x_i-x_j}xi​−xj​yi​−yj​​，这里我们用aia_iai​表示斜率，ai=yi−y0xi−x0a_i=\frac{y_i-y_0}{x_i-x_0}ai​=xi​−x0​yi​−y0​​。其实在同一条直线的所有恐怖分子可以直接消灭。那么每一次我们就对aaa进行排序并找到有多少个不同的斜率即可。不懂斜率的可以看这里。...

househousehouse 题解题目解题方法我们可以发现第iii和第jjj的的房子的距离是li+lj+∣pi−pj∣l_i+l_j+|p_i-p_j|li​+lj​+∣pi​−pj​∣。对于上面有绝对值的式子，我们可以先把lll排序，就可以把绝对值去掉，得li+lj+pi−pjl_i+l_j+p_i-p_jli​+lj​+pi​−pj​。我们可以把下标为iii合并，下标为jjj的合并，得li+pi+(lj−pj)l_i+p_i+(l_j-p_j)li​+pi​+(lj​−pj​)。那么就

sequencesequencesequence 题解这道题的解题方法是数学。我们其实可以找规律（当然如果你学过就不用找了），发现gcd(fi,fj)=fgcd(i,j)gcd(f_i,f_j)=f_{gcd(i,j)}gcd(fi​,fj​)=fgcd(i,j)​，那么就可以直接预处理出任意两项的最大公约数，然后直接输出就行了，时间复杂度为O(n2log⁡n2+q)O(n^2\log_{n}^{2}+q)O(n2logn2​+q)。还可以在循环里面求最大公约数，时间复杂度为O(∑log⁡min⁡(u

小xxx的难题 题解这道题目直接用数学方法来解。a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)=(a+b)(a2+b2−ab)\begin{aligned}a^3+b^3&=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\ &=(a+b)(a^2+b^2-ab)\end{aligned}a3+b3​=(a+b)(a2−ab+b2)=(a+b)(a2+b2−ab)​因式分解a2+b2a...

数列 题解题目题目描述给定一个正整数k(3≤k≤15)，把所有k的方幂及所有有限个互不相等的k的方幂之和构成一个递增的序列，例如，当k=3时，这个序列是： 1，3，4，9，10，12，13，…（该序列实际上就是：3^0，3^1，3^0+3^1，3^2，3^0+3^2，3^1+3^2，3^0+3^1+3^2，…）请你求出这个序列的第N项的值（用10进制数表示）。例如，对于k=3，N=1...

笨小猴 题解题目题目描述笨小猴的词汇量很小，所以每次做英语选择题的时候都很头疼。但是他找到了一种方法，经试验证明，用这种方法去选择选项的时候选对的几率非常大！这种方法的具体描述如下：假设maxn是单词中出现次数最多的字母的出现次数，minn是单词中出现次数最少的字母的出现次数，如果maxn-minn是一个质数，那么笨小猴就认为这是个Lucky Word，这样的单词很可能就是正确的答案。...

TheTheThe BucketBucketBucket ListListList 题解题目题目描述Farmer John正在考虑改变他给奶牛挤奶的时候分配牛奶桶的方式。他认为这最终能使得他使用数量更少的桶，然而他不清楚具体是多少。请帮助他！Farmer John有N头奶牛（1≤N≤100），方便起见编号为1…N。第i头奶牛需要从时间si到时间ti之间挤奶，并且挤奶过程中需要用到bi个桶。...

MountainMountainMountain ViewViewView 题解题目解题方法设lil_ili​和rir_iri​分别表示第iii座山的左右端点。则li=xi−yi,ri=xi+yil_i=x_i-y_i,r_i=x_i+y_ili​=xi​−yi​,ri​=xi​+yi​那么我们按左端点从小到大排序，然后如果左端点相等，就按右端点从大到小排序。最后只要判断一下当前...

【USACO 2020 January Silver】Loan Repayment题目：题目描述Farmer John 欠了 Bessie N 加仑牛奶（1≤N≤10^12）。他必须在 K 天内将牛奶给 Bessie。但是，他不想将牛奶太早拿出手。另一方面，他不得不在还债上有所进展，所以他必须每天给 Bessie 至少 M 加仑牛奶（1≤M≤10^12）。以下是 Farmer John 决...