28、图致密化与高维数据离群点鲁棒测地线 K-means 算法研究

图致密化与高维数据离群点鲁棒测地线 K-means 算法研究

图致密化相关理论

基本概念与关系

在图的研究中，存在一些重要的概念和关系。对于约束条件中的 $\sigma_{uv}$ 变量，它是另一个问题中 $x_{uv}$ 的对偶变量。这里存在一个有趣的关系：$(C, \alpha)$ 谦逊嵌入的存在会排除边权重大于 $\alpha n^2$ 的 $C$ - 致密化子，反之亦然。

谱公式化

1. 谱相似性
   • 已知 $Q_G(z) = z^T L_G z = \sum_{e_{uv} \in E} x_{uv}(z_u - z_v)^2$，当 $z$ 是集合 $S$ 的特征向量（集合内为 1，集合外为 0）时，对于 $0 - 1$ 值向量 $z$，有 $\frac{z^T L_H z}{m(G)} \leq C \cdot \frac{z^T L_G z}{m(G)}$。若对于任何实值向量 $z$，图 $H$ 都满足该式，则 $H$ 是图 $G$ 的单边 $C$ - 乘法谱近似，记为 $L_H \preceq C \cdot L_G$。谱相似的图具有许多代数性质，例如它们的有效电阻（重新缩放的通勤时间）相似，且图 $G$ 的特征值 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ 和图 $H$ 的特征值 $\lambda_1’, \ldots, \lambda_n’$ 满足 $\lambda_i’ \leq C \cdot \lambda_i$，这意味着致密化不一定会增加图 $G$ 的谱间隙，也不一定会使特征值增大。
   • 虽然可以在 $n$ 和