数学回味系列之4 - 开灯关灯问题

问题提出：

       有编号1~100个灯泡，起初所有的灯都是灭的。有100个同学来按灯泡开关，如果灯是亮的，那么按过开关之后，灯会灭掉。如果灯是灭的，按过开关之后灯会亮。

现在开始按开关。

       第 1 个同学，把所有的灯泡开关都按一次（按开关灯的编号：1,2,3,......100）。

       第 2 个同学，隔一个灯按一次（按开关灯的编号：2,4,6,......,100）。

       第 3 个同学，隔两个灯按一次（按开关灯的编号：3,6,9,......,99）。

       ......

       问题是，在第100个同学按过之后，有多少盏灯是亮着的？

解决思路：

       明显这是一个 奇偶问题，一个灯 奇数次是亮着的，偶数次就灭了。

       那这个问题就变成了一个判断 奇数偶数 的数学问题。

       先最简单的思路，模拟这个过程，light[i][j] 代表 第 i 个人按了第 j 个灯，直接上代码：

/* linolzhang 2008.05
*/
// 搜集过程
int light[100][100];
for(int i=0；i<100;i++)
for(int j＝0；j<100；j++)
    if(j%i == 0）
    {
         light[i][j] = 1;
    }
// 累加过程（j列对应和为偶数为灭）
int statu[100] = {0};
for(int j=0; j<100; j++)
{
    for(int i=0; i<100; i++)
        statu[j] += light[i][j];

    statu[j] = statu[j] % 2;
}

        感觉这个问题已经很完美的解决了？

＊也许不是，你应该有更好的思路。

        Light 1 只会被第1个同学按；

        Light 2 只会被第1个同学和第2个同学按；

        Light 3 只会被第1个同学和第3个同学按；

        Light 4 只会被第1个同学、第2个同学以及第4个同学按；

       ……

       Light N 只会被第1个同学、……、第N个同学按；

      找到规律了吗？没错，这是一个简单的因式分解题，只需要求 该序号N 能被哪些数整除？

int getCount(int num)
{
    int count = 0; // 因子个数
    for(int i=1;i<num;i++)
        if(0==num % i)
            count++;

    return count;
};

        计算因子个数，因子个数为偶数个，灯是灭的。

＊那还有没有第三种解法呢？有

        接着上面来看，什么样的编号具有奇数个因子，什么样的编号具有偶数个因子？来看 质因数分解的定理：

        任何正数都能被唯一表示成多个质因数幂次乘积的方式。

       36 ＝ 2^2 * 3^2（2、3、6）

       64 ＝ 2^3 * 2^3 （2、4、8、16、32）

       99 ＝ 3^2 * 11    (3、9、33、11)

       我们得到结论，只有指数和为偶数次的 其因子才会是奇数个，那么满足这个条件的是哪些呢？

       必须满足完全平方数。

       ok，我们得到结论，1~100中完全平方数有 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 ，这10个编号的灯是亮着的。