矩阵基本知识

最新推荐文章于 2023-11-27 00:22:53 发布

JasonKQLin

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分类专栏：线性代数

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1，identity matrix

单位矩阵，除了正对角线上是1，其它地方都是0

2，square matrix

方阵，行数和列数都相等的矩阵

3，diagonal matrix

对角矩阵，只在正对角线上有值，其它地方为0

4，matrix multiplication矩阵相乘

$\left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} a_{11}b_{11} +a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}& a_{11}b_{12} +a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32} \\ a_{21}b_{11} +a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31}& a_{21}b_{12} +a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32} \end{matrix} \right]$

5，the determinant行列式

在线性代数中，行列式就是一个值，它能从方阵计算而来。
方正A的行列式通常被记作det(A)，det A，|A|。
在几何上，行列式是该方阵所代表的的线性变换的比例因子。

6，cross product（vector product）向量积

仅在三维空间中定义。
$a⃗Xb⃗=∣a∣∗∣b∣sin(θ)n⃗\vec{a} X \vec{b} =|a|*|b|sin(\theta)\vec{n}$
$∣a∣和∣b∣分别为向量a⃗和b⃗的长度，θ为a⃗和b⃗的夹角，|a|和|b|分别为向量\vec{a}和\vec{b}的长度，\theta为\vec{a}和\vec{b}的夹角，$
$n⃗为单位向量，方向为垂直于a⃗和b⃗的平面，且在这两条向量的右边。\vec{n}为单位向量，方向为垂直于\vec{a}和\vec{b}的平面，且在这两条向量的右边。$
在这里插入图片描述
由右手规则判断：
With your right-hand, point your index finger along vector a, and point your middle finger along vector b: the cross product goes in the direction of your thumb.

$a⃗Xb⃗\vec{a} X \vec{b}$ 与 $b⃗Xa⃗\vec{b} X \vec{a}$ 长度相等，方向相反。

7，dot product（scalar product）点积

点积是标量，是一个数字。
$a⃗.b⃗=∣a∣∗∣b∣cos(θ)\vec{a}.\vec{b}=|a|*|b|cos(\theta)$
$∣a∣和∣b∣分别为向量a⃗和b⃗的长度，θ为a⃗和b⃗的夹角。|a|和|b|分别为向量\vec{a}和\vec{b}的长度，\theta为\vec{a}和\vec{b}的夹角。$
在二维空间和多维空间，此计算都成立。

8，eigenvectors（特征向量）和eigenvalues（特征值）

给定一个矩阵A，如果经过 $v⃗这个线性变换后，得到的新向量仍与v⃗\vec{v}这个线性变换后，得到的新向量仍与\vec{v}$ 在同一条直线上，即：
$Av⃗=λv⃗A\vec{v}=\lambda\vec{v}$ ，
则称 $v⃗为矩阵A的特征向量，λ为矩阵A的特征值\vec{v}为矩阵A的特征向量，\lambda为矩阵A的特征值$ 。

方阵才有特征值和特征向量的概念，一个n阶方阵要么没有特征向量，要么有n个特征向量。

9，矩阵中常用的数学符号

9.1 $A^{-1}$
叫法：The inverse matrix of the matrix A、逆矩阵、导数矩阵。
仅针对方阵而言，并且方阵的行列式不为0时才有逆矩阵。
定义：
如果A为方阵，且 $AA^{-1}=I，$ 则 $A^{-1}称为A的逆矩阵（其中I为单位矩阵）。$

有如下一个2X2方阵：
$\left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right]$
则：
$A^{-1}=\frac{1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} \left[ \begin{matrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{matrix} \right]=\frac{1}{|A|} \left[ \begin{matrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{matrix} \right]$
其中|A|为方阵A的行列式。

性质：
设C=AB（显然A和B为同纬度的方阵），
则 $B=A^{-1}AB=A^{-1}C$
$A=ABB^{-1}=CB^{-1}$
因此 $C=AB=CB^{-1}A^{-1}C$ ，
因此 $CB^{-1}A^{-1}=I$ （I为单位矩阵）
因此 $B^{-1}A^{-1}=C^{-1}=(AB)^{-1}$

9.2 $A^T$
矩阵A的转置矩阵，即将行和列互换。

9.3 $A^*$
叫法：complex conjugated matrix、复共轭矩阵
若 $(A∗)i,j=Ai,jˉ(A^*)_{i,j}=\bar{A_{i,j}}$ ，（其中 $(.)i,j为矩阵第i行第j列的元素，(.)ˉ表示标量的复共轭。(.)_{i,j}为矩阵第i行第j列的元素，\bar{(.)}表示标量的复共轭。$ ）
则称 $A^*$ 为A的复共轭矩阵

9.3 $AH(量子力学中用A†表示)A^H(量子力学中用A^\dag 表示)$
叫法：Transposed and complex conjugated matrix、共轭转置、伴随矩阵
若 $(A∗)i,j=Aj,iˉ(A^*)_{i,j}=\bar{A_{j,i}}$ ，（其中 $(.)i,j为矩阵第i行第j列的元素，(.)ˉ表示标量的复共轭。(.)_{i,j}为矩阵第i行第j列的元素，\bar{(.)}表示标量的复共轭。$ ）
也写作：
$(A∗)=(Aˉ)T=ATˉ(A^*)=(\bar{A})^T=\bar{A^T}$
则称 $A^*$ 为A的共轭转置矩阵