Luogu P3935 Calculating_calculating the sum of its partc语言-优快云博客

博客围绕给定 l、r 求特定求和式展开。先给出题目大意，后进行题解。指出原式等价于 Sumd(r) - Sumd(l - 1)，经分析采用除法分块求解，时间复杂度为 Θ(n)。

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题目大意

给定 $l, r$ ，求 $∑i=lr∑k∣i1\sum_{i=l}^r\sum_{k|i}1$

数据范围　 $second1\leqslant l,r\leqslant 1.6\times 10^{14}\quad3\ \text{second}$

题解

可以发现，原式等价于：
$Sumd(r)−Sumd(l−1)\text{Sum}_{d}(r)-\text{Sum}_{d}(l-1)$ 其中 $d$ 是约数个数函数。
某些学过杜教筛的（比如我）会开始考虑，然后发现打死都想不出来（至少我想不出来）……可能有的大佬想出来了，结果时间复杂度是 $Θ(n23)\Theta(n^{\frac 23})$ ，发现死都卡不过去……好吧。
$Sumd(n)=∑i=1n∑k∣i1=∑k=1n∑k∣ii⩽n1=∑k=1n⌊nk⌋\begin{aligned} \text{Sum}_{d}(n)&=\sum_{i=1}^n\sum_{k|i}1\\ &=\sum_{k=1}^n\sum_{k|i}^{i\leqslant n}1\\ &=\sum_{k=1}^n\Big\lfloor\frac nk \Big\rfloor\\ \end{aligned}$

心情舒畅。除法分块，时间复杂度 $Θ(n)\Theta(\sqrt n)$ 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mod 998244353
long long ds(long long n){
	long long ans=0;
	for(long long l=1,r;l<=n;l=r+1){
		r=n/(n/l); if(r>n) r=n;
		ans+=(n/l)*(r-l+1);
		ans=ans%mod;
	} return ans;
}
int main(void){
	long long l,r;
	scanf("%lld%lld",&l,&r);
	printf("%lld",(ds(r)-ds(l-1)+mod)%mod);
	return 0;
}