2Dpoisson问题的5点离散模板

在二维规则网格上，拉普拉斯算子 ∇²p 的 5点离散模板（5-point stencil） 是最常用的二阶有限差分格式，用于近似二阶导数。以下是它的具体形式和推导。

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1. 基本公式

对于二维泊松方程：
$${\nabla }^{2}p=\frac{{\partial }^{2}p}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}p}{\partial y^2}=f$$
在均匀网格（网格间距 (h)）上，中心点 ((i,j)) 的离散形式为：

$${\nabla }^{2}p\approx \frac{p_{i-1,j}+p_{i+1,j}+p_{i,j-1}+p_{i,j+1}-4p_{i,j}}{h^2}=f_{i,j}$$

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2. 模板系数

将上述公式写成 模板（stencil） 形式（对应中心点和四个邻居）：

$$\frac{1}{h^2}\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& -4& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$$
这里的矩阵表示对中心点 ((i,j)) 及其四个直接邻居的加权求和。

• 中心点系数：(-4/h^2)
• 上下左右邻居系数：(1/h^2)
• 对角邻居系数：0（所以叫“5点”，不包含对角）

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3. 矩阵形式

如果将所有网格点按字典序排列成向量 (\mathbf{p})，则离散拉普拉斯算子对应一个 稀疏对称矩阵，每行最多有 5 个非零元素（中心点和四个邻居）。

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4. 边界条件处理

狄利克雷边界（Dirichlet BC）

• 如果某个邻居是 Dirichlet 边界，则该点的值已知（如 (p = p_a)），将其移到右端项 (\mathbf{b}) 中。
• 模板中对应的系数被移除，中心点对角线系数可能减少。

诺伊曼边界（Neumann BC）

• 如果某个邻居是 Neumann 边界（法向梯度已知），使用一阶或二阶单边差分近似边界条件。
• 这会影响该边界点的离散方程，可能修改模板系数。

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