数二-中值定理

f(x)在[a,b]上连续

有界有最值定理

$m\le f(x)\le M,其中m,M分别为f(x)在[a,b]的最小值，最大值。$

介值定理

$当m\le \mu \le M时，存在\xi \in [a,b]，使f(\xi )=\mu .$

平均值定理

平均值定理（离散）

$当a<x_1<x_2<\cdots <x_n<b时，在[x_1,x_n]上至少存在一点\xi 使$
$$f(\xi )=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)}{n}$$

证明

$\begin{array}{ccc}& m\le f(x_1)\le M& \\ & ⋮& \\ & m\le f(x_n)\le M& \\ & & \\ & nm\le f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)\le nM& \\ & & \\ & m\le \frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)}{n}\le M& \\ & \downarrow & \\ \therefore f(\xi )=& \mu & \end{array}$

积分中值定理（连续）

1. $设f(x)在[a,b]连续，则存在\xi \in [a,b]，使得$
   $${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(a-b)$$
2. $设f(x)在[a,b]连续，则存在\xi \in (a,b)，使得$
   $${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(a-b)$$

证明

$\begin{array}{ccc}& m\le f(x)\le M& \\ & & \\ & {\int }_a^{b}mdx\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}Mdx& \\ & & \\ & m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)& \\ & & \\ & m\le \frac{{\int }_a^{b}f(x)dx}{b-a}\le M& \\ & \downarrow & \\ f(\xi )=& \mu & \end{array}$

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零点定理

零点定理（函数）

$当f(a)\ast f(b)<0，存在\xi \in (a,b)，使得f(\xi )=0.$

达布定理（导数零点定理）

$f(x)在[a,b]可导，当f^{\prime }(a)\ast f^{\prime }(b)<0，存在\xi \in (a,b)，使得f^{\prime }(\xi )=0.$

费马定理

$设f(x)在x_0处满足\{\begin{array}{l}可导\\ 取极限\end{array},则f^{\prime }(x_0)=0.$

*证明

$f(x)在x_0可导，则f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$

$不妨设f(x)在x_0处取极大值，则f(x)-f(x_0)\le 0.$

$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }x-x_0>0，则\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0$
$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }x-x_0<0，则\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0$

$\therefore f^{\prime }(x_0)=0$

使用

$\{\begin{array}{l}可导\dots 一般题意已知\\ 取极值\end{array}\Rightarrow f^{\prime }(x_0)=0$

只需要说明可导函数最值在区间内部取到 。
$f(x)最大值在(a,b)内\Rightarrow f(x)在x=\xi 处取极值\Rightarrow 存在\xi \in (a,b)使得f^{\prime }(\xi )=0.$

罗尔定理

$设f(x)在x_0处满足\{\begin{array}{l}[a,b]连续\\ (a,b)可导\\ f(a)=f(b)\end{array},则存在\xi \in (a,b),f^{\prime }(\xi )=0.$

使用

$一般证明f^{\prime }(\xi )=0为复杂函数F^{\prime }(\xi )=0，考察(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }的逆运用。$

• $[f(x)f(x){]}^{\prime }=2f(x)f^{\prime }(x)$
• $[f(x)f^{\prime }(x){]}^{\prime }=[f^{\prime }(x){]}^2+f(x)f^{\prime \prime }(x)$
• $[f(x)e^{\phi (x)}{]}^{\prime }=[f^{\prime }(x)+f(x){\phi }^{\prime }(x)]e^{\phi (x)}$

注意：$[f(x)e^{\phi (x)}{]}^{\prime }时，e^{\phi (x)}恒大于0，一般题目需要证明f^{\prime }(x)+f(x){\phi }^{\prime }(x)=0.$

例题

$设函数f(x)在[0,1].上连续,在(0,1)内二阶可导,过点A(0,f(0))与B(1,f(1))的直线$
$与曲线y=f(x)相交于点C(c,f(c)),其中0<c<1,证明存在\xi \in (0,1),使得f^{\prime \prime }(\xi )=0.$

证明:
$设过点A,B直线方程为y=g(x),令\phi (x)=g(x)-f(x)，显然\phi (x)在[0,1]连续,在(0,1)可导。$

$\phi (c)=\phi (0)=\phi (1)=0，由罗尔定理可得：$
$$\begin{gathered} \exists {\xi }_1\in (0,c)，使得f^{\prime }({\xi }_1)=0 \\ \exists {\xi }_2\in (c,1)，使得f^{\prime }({\xi }_2)=0 \end{gathered}$$
由罗尔定理得：

$\exists \xi \in ({\xi }_1,{\xi }_2)\subset (0,1)，使得f^{\prime \prime }(\xi )=0$

$设y=f(x)为区间[0,1]上的非连续函数$

$证明：存在c\in (0,1)，使得在区间[0,c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c,1]上$
$以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积。$

证明:

$令F(x)=x{\int }_x^{1}f(t)dt$

$\because F(0)=0,F(1)=0，由罗尔定理：$

$\exists c\in (0,1)使得F^{\prime }(c)=0,即：{\int }_c^{1}f(x)dx=cf(c)$

$设f(x)在区间[0,1]上可导，f(1)=2{\int }_0^{\frac{1}{2}}{x}^{2}f(x)dx$
$证明：存在\xi \in (0,1)使得2f(\xi )+\xi f^{\prime }(\xi )=0$

证明:
$令F(x)=x^{2}f(x)$

$由积分中值定理得{\int }_0^{\frac{1}{2}}F(x)dx=2F({\xi }_1),{\xi }_1\in [0,\frac{1}{2}]$

$F(1)=F({\xi }_1)=f(1)，由罗尔定理得:$

$\exists \xi \in ({\xi }_1,1)\subset [0,1],使得F^{\prime }(\xi )=0$
即:
$$2\xi f(\xi )+{\xi }^2{f}^{\prime }(\xi )=0$$
即：$$2f(\xi )+\xi f^{\prime }(\xi )=0$$

拉格朗日中值定理

$设f(x)满足\{\begin{array}{l}[a,b]连续\\ (a,b)可导\end{array}，则存在\xi \in (a,b)，使得$

$$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$$

柯西中值定理

$设f(x),g(x)满足\{\begin{array}{l}[a,b]连续\\ (a,b)可导\\ g^{\prime }(x)\ne 0\end{array}，则存在\xi \in (a,b),使得$

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$$

泰勒公式

拉格朗日余项

应用于区间

$f(x)在x_0的某个邻域内，n+1阶可导，则对于邻域内任意一点有$

$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(\xi )}{n!}(x-x_0{)}^n$$

$\xi \in (x,x_0)$

佩亚诺余项

应用于点，极限情况下$o[(x-x_0{)}^n]$有定义

$f(x)在x_0的点处，n+1阶可导，则对于邻域内任意一点有$

$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +o[(x-x_0{)}^n]$$