利用坐标变换证明惯性主轴方向是惯性矩的极值方向

为了简单，以平面图形为例来证明其惯性矩的主轴方向为惯性矩的极值方向，惯性矩为主惯性矩，主惯性轴相互垂直。

令平面图形的主惯性轴作为基矢量的基（主惯性基）为E^r，逆时针转α的基为E^b，E^b相对E^r的过渡矩阵为A^rb，

A^rb=

cos α	-sin α
sin α	cos α

E^r相对E^b的过渡矩阵为A^br

A^br=

cos α	sin α
-sin α	cos α

 

平面图形在E^r中的惯性矩阵为

A^r=

Ixx	0
0	Iyy

根据张量的坐标变换，可知：平面图形在E^b中的惯性矩阵为

A^b= A^br A^r A^rb

⁼

cos2α Ixx+sin2α Iyy
	sin2α Ixx+cos2α Iyy

 可见：平面图形在E^b中的惯性矩为椭圆的矢径的平方，当α =0时，取极值，分别为椭圆长轴及短轴的平方，即得证。