埃式筛法C++实现

埃式筛法

引入

背景

‌埃式筛法，也称为‌埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes），是一种由希腊数学家埃拉托斯特尼提出的简单算法，用于检定‌素数。这种方法通过逐步剔除不大于根号n的所有素数的倍数，从而找出自然数n以内的全部素数。‌

题目

给定正整数n，请求出1 , 2 , …  , n 间所有质数

输入格式

一个正整数n

输出格式

一行多个整数，表示1 , 2 , …  , n 间所有质数，每个质数用空格隔开。

样例输入 1

10

样例输出 1

2 3 5 7

算式

要得到自然数n以内的全部素数，必须把不大于
的所有素数的倍数剔除，剩下的就是素数。

给出要筛数值的范围n，找出以内的素数。先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一个质数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一个质数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不断重复下去…。

步骤

1. ‌初始化‌：首先，列出从2开始的所有自然数序列。
2. ‌筛选过程‌：
   • 用2去除序列中的所有倍数，留下非2的倍数。
   • 接着用下一个质数3去除剩余数字中的3的倍数，留下非3的倍数。
   • 重复此过程，每次选择未被剔除的下一个质数，去除该质数的倍数，直到序列中的下一个质数大于当前序列中最大数的平方根为止。
3. ‌结束条件‌：如果剩余序列中的最大数小于当前筛选质数的平方，则剩余的数字均为素数。

例如，假设我们要找出小于或等于10的所有素数：

• 第一步，列出2到25的数字：2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10。
• 第二步，用2去除所有2的倍数（留下2），用3去除所有3的倍数（留下3），用5去除所有5的倍数（留下5），用7去除所有7的倍数（留下7）。
• 第三步，继续这个过程，直到找到所有的素数：2, 3, 5,7。

实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 1;
int n;
bool flag[N] = {1, 1};
void Eratothenes() {
	for (int i = 2; i * i <= n; ++i)
		if (!flag[i])
			for (int j = 2; i * j <= n; ++j) flag[i * j] = 1;
}
int main() {
	scanf("%d", &n);
	Eratothenes();
	for (int i = 2; i <= n; ++i)
		if (!flag[i]) printf("%d ", i);
	return 0;
}