过河 NOI 蓝桥杯动态规划题题解

最新推荐文章于 2025-06-14 18:35:57 发布

原创

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#蓝桥杯 #动态规划 #算法 #c++

该问题是一个关于动态规划和状态压缩的算法题。给定一个包含石子的独木桥，青蛙需要跳过它，跳跃距离在S到T之间。目标是最少踩到多少石子。通过状态转移方程和状态压缩技术，可以解决大范围的桥长问题。在最坏情况下，X需大于等于T*(T-1)，特殊情况是T=S时，所有T的倍数点位的石子都会被踩到。

描述

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

对于30%的数据，L <= 10000；
对于全部的数据，L <= 10^9。

格式

输入格式

输入的第一行有一个正整数L（1 <= L <= 10^9），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1 <= S <= T <= 10，1 <= M <= 100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出格式

输出只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

样例1

样例输入1

10
2 3 5
2 3 5 6 7

样例输出1

限制

来源

NOIp2005 第二题

题解

根据题意列出状态转移方程，青蛙跳到数轴上的i点时，至少要踩到的石头的数量为：
dp[i]=min(dp[i],dp[i-j]+stone[i])
其中i-j的值为青蛙上一跳的位置；
j的取值范围为S<=j<=T，表示青蛙的跳跃距离范围；
从i=0遍历到最后一个石头所在的位置，遍历时，进行此状态转移方程，最终得到的就是青蛙跳到尽头至少需要踩到的石头数。

但是本题的桥长L可能会很大(L <= 10^9),这么长的数组可能存不完，遍历起来也很慢。
所以我们需要用到状态压缩的知识，把桥的长度压缩为较短但等效的长度。

因为石头的数量相对于桥长而言很少(1 <= M <= 100)，两个石头之间的距离很大，当两个石头之间的距离大到一定程度时，青蛙从前一个石头过去，在不同的跳跃距离组合累加之后，可以跳到下一个石头附近的任意一点（该石头的附近具体指距离该石头小于青蛙最大跳跃距离T的点位的集合）。

所以，当两个石头间的距离大于一定程度X时，我们都可以把它们视为距离X,因为大于X的情况与等于X的情况等效。

那么这个X至少为多少才合适呢？

我们先考虑最坏的情况S==T-1，此时青蛙只有两种跳法，而且两种跳法跳跃的距离都比较远，第一次跳就要跳出去很远，由于两种跳法相距不大，只有1，所以需要X很大的情况下，才能保证能跳到X以后的任意一点。

此时X应该为 $(T - 1) * T$ 或者说 $T * S$ ，因为任何大于等于 $T * S$ 的数，你都可以先找到最邻近它且大于的数 $n * T$ (n为正整数），或者说写成n个T的和。此时，如果我们把n个T中的m个T替换为T-1,那么累加后得到的和就是 $($