最长上升子序列o(nlogn)复杂度一种简单易懂的理解

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最长上升子序列有o(n^2)的复杂度这个就不说了，简单易懂，博客一大堆。我们今天来说说o(nlogn)复杂度的这个方法。

以前我学习这个算法的时候，看了很多博客，楞是看了很久才看懂，所以自己今天立志要把这个算法整的简单易懂一点儿

举个例子来讲解我的思路，例如我要找的序列是【 7 2 1 5 6 4 3 8 9 】

第一步 先拿出第一个数7

然后 长度为1的序列就是【7】，我表示为如下的形式

1：【7】

第二步加入2 ，我发现2比7小，那么我就用2代替7。这是因为如果后面出现了9 那么7，9和2，9都是一样的长的，看起来如果不换似乎也没什么问题。但是如果后面出现的不是9而是5，那么原本应该长度为2的序列2，5 就不会变成7，5（这是不合法的）。所以用2替换7是最合理的。结果就是

1：【2】

第三步加入1，继续替换2

1：【1】

第四步加入5，这个时候我们发现5比1大，所以我就可以扩展出长度为2的序列了，当然长度为1的序列依旧保留

1:【1】

2：【1，5】

为什么要保留长度为1的序列，是有道理的 如果这里出现的是9不是5 那么舍弃长度为1 的序列会有大麻烦。例如如果是1，9 后面要是再出现一个6，7那么最长序列应该是1，6，7如果长度为1的序列被舍弃了，那么1，9后面出现6，7就不能添加进去了。

第五步加入6

发现可以加入长度为1的序列扩展，长度2的序列，但是我们有了长度2的序列并且最后一位是5比6更优，所以长度为2的序列不变，但是6加入长度为2的序列可以扩展为长度3的序列

1：【1】

2：【1，5】

3：【1，5，6】

第六步加入4 ，同理4加入长度为1的序列不能改变它但是可以改变长度为2 的

1：【1】

2：【1，4】

3：【1，5，6】

第七加入3结果是

1：【1】

2：【1，3】

3：【1，5，6】

第八加入8结果就是长度为1的序列加入8扩展为【1，8】但是【1，3】比【1，8】优秀，所以舍弃，同理长度为2的加入2得到【1，3，8】也没有同样长度为3的序列【1，5，6】优秀，所以舍弃。但加入长度为3的序列可以得到长度4的序列【1，5，6，8】

1：【1】

2：【1，3】

3：【1，5，6】

4：【1，5，6，8】

因此我们发现了规律就是每加入一个数，找到一个长度为m的序列使得这个序列 的最后一位数比它小，长度为m+1的序列的最后一位数比它大，那么就用这位数更新长度为m+1的那个序列的最后一位数。但是如果长度m的序列是当前最长的那个序列，也就是 说意味着不存在m+1长度的序列，那么直接扩展出长度加1 的一个新序列。

最后我们加入9 发现它比最长长度的那个的最后一位还大，所以直接扩展新的序列【1，5，6，8，9】

1：【1】

2：【1，3】

3：【1，5，6】

4：【1，5，6，8】

5：【1，5，6，8，9】

 
#1.生成长度为N(arr的长度)的数组dp，dp[i]表示在以arr[i]结尾的情况下，arr[0…i]中的最长子序列。
#2.dp的初始值是1也是边界条件
#3.dp[i] = max(dp[j]+1,dp[i]) ,j in [0..i]
#o(n^2)
 
def subseq(data):
	lenghth = len(data)
	dp = [1 for i in range(lenghth)]
	for i in range(lenghth):
		for j in range(i):
			if data[j]<data[i]:
				dp[i] = max(dp[j]+1,dp[i])
	
	return max(dp)
 
 
 
 
 
 
#1.这就是我的方法，复杂度o(nlogn)
def subseq_log(data):
	def replace(dp,k):
		left = 0
		right = len(dp)-1
		while left<right:
			middle = (left+right)//2
			if k==dp[middle]:
				return 
			elif k<dp[middle]:
				right=middle
			else:
				left = middle+1
		dp[right] = k
 
	lenghth = len(data)
	dp = [data[0]]
	for i in range(1,lenghth):
		if data[i]>dp[-1]:
			dp.append(data[i])
		else:
			replace(dp,data[i])
	print(dp)
	return len(dp)
 
 
 
if __name__=='__main__':
	array = [7 ,2 ,1, 5, 6, 4, 3, 8, 9]
	print(subseq(array))
	print(subseq_log(array))

因此最长度长度是5。 一共遍历了n个数字，每个数字呢需要取寻找上面提到的那个长度为m的序列，可以用2分查找，因此复杂度是logn 因此整个算法复杂度是nlogn

其实仔细看看我上面的分析和别人的方法是一致的，如果把我的思路理解了再去看下面这篇文章，就可以把空间复杂度降低为o(n)而不是我现在的o(n^2)

其他的思路：https://blog.youkuaiyun.com/u013178472/article/details/54926531