1.堆堆排序_堆排序插入一个数-优快云博客

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文章目录

对堆的基础理解
堆的几个操作
- 插入一个数x
- 删除任意一个元素
- 修改任意一个元素
- 求小根堆里的最小值
总结

一、对堆的基础理解

1.堆是一颗完全二叉树。

2.小根堆：父结点的值<=其子节点的值

3.大根堆：父结点的值>=其子节点的值

4.对结点的左右儿子和父亲进行编号：结点i的左儿子是2*i 结点i的右儿子是2*i+1 结点i的父结点是i/2

5.堆（完全二叉树）可以用一维数组存储，如下图

二、堆的几个操作

1.插入一个值为x的元素

core idea：把新元素从堆尾插入，再逐层上浮到合适位置

代码如下（示例）：

插入值为x的数


int a[1000010],size;

void up(int u)//上浮
{
   if(u/2&&a[u/2]>a[u])
{
       swap(a[u],a[u/2]);
       up(u/2);
}
}

void push(int x)//插入
{
++size;
a[size]=x;
up(size);
}

a为存储堆的一维数组。

size为数组的长度，因为要从堆尾（数组尾）插入x，所以肯定得扩大数组长度；下标从1开始，size也是数组尾元素的下标。

u为准备上浮的结点的下标。

如果准备上浮的结点值<其父结点的值，则上浮，即交换两者的值。值得注意的是交换不只是单纯的值交换了，下标也交换了，所以这个准备上浮的结点的下标为u/2。我认为具体原因是数组的下标总是1，2，3，4，5，6……，但对应数组的值是可以交换的。

时间复杂度为O(logn)

2.删除任意一个元素

core idea:用堆的最后一个元素覆盖住要删除的这个元素，再逐层下沉/上浮到合适位置（以满足小根堆的性质）

代码如下（示例）：

删除下标为k的元素




int a[1000010],size;

void up(int u)//上浮
{
   if(u/2&&a[u/2]>a[u])
{
       swap(a[u],a[u/2]);
       up(u/2);
}
}

void down(int u)//下沉
{
 int v=u;
if(u*2<=size&&a[u*2]<a[v])v=u*2+1;
if(u*2+1<=size&&a[u*2+1]<a[v])v=u*2+1;
if(u!=v)swap(a[u],a[v]),down(v);
}

void pop(int k)//删除
{
if(a[k]<=a[size]){
a[k]=a[size];
size--;
down(k);
}
else
{a[k]=a[size];
size--;
up(k);
}
}

size--:因为让最后一个元素覆盖住下标为k的元素，所以该元素相当于被删除整个堆的大小减一

如果替代后该位置的元素变小为了满足小根堆的性质则上浮；如果替代后该位置的元素变大为了满足小根堆的性质则下沉

时间复杂度为O(logn)

3.修改任意一个元素

core idea：将值赋给要修改的元素，再逐层下沉/上浮到合适位置（以满足小根堆的性质）

下标为k的元素值修改为x





int a[1000010],size;

void up(int u)//上浮
{
   if(u/2&&a[u/2]>a[u])
{
       swap(a[u],a[u/2]);
       up(u/2);
}
}

void down(int u)//下沉
{
 int v=u;
if(u*2<=size&&a[u*2]<a[v])v=u*2+1;
if(u*2+1<=size&&a[u*2+1]<a[v])v=u*2+1;
if(u!=v)swap(a[u],a[v]),down(v);
}

void modify(int k,int x)//修改
{
if(a[k]<=x){
a[k]=x;
down(k);
}
else
{a[k]=x;
up(k);
}
}

如果赋值后该位置的元素变小为了满足小根堆的性质则上浮；如果赋值后该位置的元素变大为了满足小根堆的性质则下沉