过桥问题的通解

最新推荐文章于 2024-07-07 17:06:36 发布

li_jianghao

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分类专栏：智力题文章标签：智力题

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/li_jianghao/article/details/77871348

这篇博客探讨了两种典型的过桥问题，包括一个五口之家在有限时间内过桥的策略和一个更抽象的问题，涉及n个人过桥。通过优化过桥和送灯的策略，确保耗时最短。对于五口之家的问题，给出了29分钟的详细解决方案，而对于n个人的情况，提出了关键的优化原则，即送灯者应最快，过桥组合应最大化耗时差异。

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问题一，一个典型过桥问题：
小明一家5口人在夜晚过一座桥，小明过桥要1分钟，小明的弟弟过桥要3分钟，小明的爸爸过桥要6分钟，小明的妈妈过桥要8分钟，小明的爷爷过桥要12分钟；这座桥每次只能过2个人，因是夜晚，过桥时必须提着灯，小明有一只灯，点燃后30分钟会熄灭，问怎么样安排，才能保证小明一家在灯熄灭前过桥。
答案：
小明和弟弟过去，小明回来，4分钟
妈妈和爷爷过去，弟弟回来，15分钟
爸爸和小明过去，小明回来，7分钟
小明和弟弟过桥，3分钟
合计4+15+7+3=29分钟

问题二：如果有n个人过桥，一次只能过2个人，过桥必须提着灯，并且只有一只灯（这里不会熄灭）；求过桥所要的最少时间是？
现在我们把2（n>2）个人过桥的过程称为“过桥”，1个人提灯回来叫做“送灯”。
为了使整个过程耗时最少，那么就要尽量做到两点。一是送灯是1个人完成。那么这个人一定要最快。
二是过桥是2个人，因为是取两者耗时最多的，那么另一个人被吃掉的时间要尽量大。
如果两点能同时做到，那这样得到的耗时很有可能（未经证明不敢说一定）是最小的。

当n=1、2时，只有一次过桥，耗时为一固定值。

当n=3时，记3人分别为 $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ 。这里耗时 $a_{1}$ <= $a_{2}$ <= $a_{3}$ ,

最佳方案为            操作             状态           耗时
                   过桥          ----       
                   送灯            ----       
                   过桥          ----       
                   总耗时              ++

当n=4时，记4人耗时分别为 $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , $a_{4}$ 。这里耗时 $a_{1}$ <= $a_{2}$ <= $a_{3}$ <= $a_{4}$ ,

第一种方案，送灯要最快方案为    操作             状态           耗时
                           过桥       ----       
                            送灯        ----       
                           过桥       ----       
                            送灯        ----       
                           过桥       ----       
                           总耗时             2+++

第二种，要吃掉时间最长方案为    操作             状态           耗时
                           过桥       ----       
                            送灯        ----       
                           过桥       ----       
                            送灯        ----       
                           过桥       ----       
                           总耗时             +3+

两种方案耗时差为（2+++)-(+3+)=+-2,
所以当+>2时方案二更优，当+

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