999瓶水与1瓶毒药撑死老鼠及其拓展

问：有1000个一模一样的瓶子，其中有999瓶是普通的水，有一瓶是毒药。任何喝下毒药的生物都会在一星期之后死亡。现在，你只有10只小白鼠和一星期的时间，如何检验出哪个瓶子里有毒药？

答：把瓶子从0到999依次编号，然后全部转换为10位二进制数。让第一只老鼠喝掉所有二进制数右起第一位是1的瓶子，让第二只老鼠喝掉所有二进制数右起第二位是1的瓶子，等等。一星期后，如果第一只老鼠死了，就知道毒药瓶子的二进制编号中，右起第一位是1；如果第二只老鼠没死，就知道毒药瓶子的二进制编号中，右起第二位是0……每只老鼠的死活都能确定出10位二进制数的其中一位，由此便可知道毒药瓶子的编号了。

问：如果你有两个星期的时间（换句话说你可以做两轮实验），为了从1000个瓶子中找出毒药，你最少需要几只老鼠？注意，在第一轮实验中死掉的老鼠，就无法继续参与第二次实验了。

答：7只老鼠就足够了。事实上，7只老鼠足以从 3^7 = 2187 个瓶子中找出毒药来。首先，把所有瓶子从0到999编号，然后全部转换为7位三进制数。现在，让第一只老鼠喝掉所有三进制数右起第一位是 2 的瓶子，让第二只老鼠喝掉所有三进制数右起第二位是2的瓶子，等等。一星期之后，如果第一只老鼠死了，就知道毒药瓶子的三进制编号中，右起第一位是2；如果第二只老鼠没死，就知道毒药瓶子的三进制编号中，右起第二位不是2，只可能是0或者1……也就是说，每只死掉的老鼠都用自己的生命确定出了，三进制编号中自己负责的那一位是2；但每只活着的老鼠都只能确定，它所负责的那一位不是2。于是，问题就归约到了只剩一个星期时的情况。在第二轮实验里，让每只活着的老鼠继续自己未完成的任务，喝掉它负责的那一位是 1 的所有瓶子。再过一星期，毒药瓶子的三进制编号便能全部揭晓了。

总结：n只小白鼠和t周的时间可以从(t+1)^n个瓶子中检验出毒药（一瓶）来。（是否是“至多”(t+1)^n瓶希望你们能想个法子证明或证伪：P）

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