线性代数学习笔记（十一）——特殊矩阵

最新推荐文章于 2022-04-22 16:50:44 发布

雏鹰高飞

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分类专栏：学习笔记文章标签：线性代数

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本篇笔记介绍了几种特殊矩阵，包括数量矩阵、对角型矩阵、三角型矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，需要注意的是这些特殊矩阵都是方阵。其中对称矩阵和反对称矩阵的两个结论比较重要，在做题时基本都会用到，需要记住。

1 数量矩阵

主对角线元素全都相等，其余元素全都为零的矩阵。
$\bcancel{\begin{bmatrix} a&0&{\cdots}&0\\ 0&a&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&a\\ \end{bmatrix}}$

很明显，数量矩阵将主对角线元素提到外面后，矩阵将变成一个单位阵，即矩阵：
$= a E$

因为 $a$ 可以等于 $0$ 或 $1$ ，所以 $O$ 和 $E$ 都是特殊的数量矩阵。

数与数量矩阵相乘，以及数量矩阵之和、数量矩阵相减或数量矩阵相乘，仍然是数量矩阵。
$b\begin{bmatrix} a&0&{\cdots}&0\\ 0&a&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&a\\ \end{bmatrix}=abE$

$\begin{bmatrix} 1&0&{\cdots}&0\\ 0&1&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&1\\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 2&0&{\cdots}&0\\ 0&2&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&2\\ \end{bmatrix}=3E$

$\begin{bmatrix} 1&0&{\cdots}&0\\ 0&1&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&1\\ \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2&0&{\cdots}&0\\ 0&2&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&2\\ \end{bmatrix}=-E$