0/1背包

C: 0/1背包

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题目描述

一个旅行者有一个最多能装m公斤物品的背包，现在有n件物品，它们的重量分别是w1，w2,…，wn，它们的价值分别为c1,c2,…，cn。若每件物品只有一件，求旅行者能获得的最大总价值。

 

输入

第一行：两个整数，m（背包容量，m<=200）和n（物品数量，n<=30）。

第二~n+1行：每行两个整数wi，ci，表示每个物品的重量和价值。

 

输出

一个数据，表示最大总价值。

 

样例输入

10 4

2 1

3 3

4 5

7 9

样例输出

12

 

Solution

经典的0/1背包问题

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

W[i]表示第i件物品的体积，c[i]表示价值

用子问题定义状态：F[i, v] 表示前i 件物品恰放入一个容量为v 的背包可以获得的最大价值

则其状态转移方程便是：

F[i,v]=max{f[i-1,v],f[i-1,v-w[i]]+c[i]}

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。

所以有必要将它详细解释一下：“将前i 件物品放入容量为v 的背包中”这个子问题，若只考虑第i 件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只和前i - 1 件物品相关的问题。

如果不放第i 件物品，那么问题就转化为“前i - 1 件物品放入容量为v 的背包中”，价值为F[i -1; v]；

如果放第i 件物品，那么问题就转化为“前i -1 件物品放入剩下的容量为v -Wi 的背包中”，此时能获得的最大价值就是F[i - 1; v - Wi]再加上通过放入第i 件物品获得的价值Ci。

在优化一下空间复杂度即可

时间：O(VN)  空间：O(V)

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

const int maxn=35,maxm=210;
int f[maxm];
int w[maxn],c[maxn];
int n,m;

int main()
{
	cin>>m>>n;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		cin>>w[i]>>c[i];
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=m;j>=w[i];j--)
			f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
	cout<<f[m];	
	return 0; 
}