友好城市

B: 友好城市

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题目描述

 

Palmia国有一条横贯东西的大河，河有笔直的南北两岸，岸上各有位置不同的N个城市。北岸的每个城市有且仅有一个友好城市在南岸，而且不同城市的友好城市不相同。

每对友好城市都向政府申请在河上开辟一条直线航道连接两个城市，但是由于河上雾太大，政府决定避免任意两条航道交叉，以避免事故。编程帮助政府作出一些批准和拒绝申请的决定，使得在保证任意两条航线不相交的情况下，被批准的申请尽量多。

 

输入

第1行，一个整数N(1<=N<=50000,表示城市数。

第2行到第n+1行，每行两个整数，中间用1个空格隔开，分别表示南岸和北岸的一对友好城市的左边。(0<=xi<=10000)

 

输出

仅一行，输出一个整数，政府所能批准的最多申请书。

 

样例输入

7

22 4

2 6

10 3

15 12

9 8

17 17

4 2

样例输出

4

 

 

Solution

将数据按照x升序排列，

就变成了一道经典的求最长不上升子序列的题目

N^2做法:dp[i]表示以i结尾的最长子序列长度

则dp[i]=max{dp[j]+1}(1<=j<i && a[i]<=a[j])

Nlogn做法：

首先，我们要想一种能够加速寻找j的方法

我们用s[i]表示长度为i的子序列的最后一个元素的值的最大值

即   s[i]=max{a[j]}(dp[j]=i)

可以看出，s[]数组必定是不上升的

假设有  s[i]<s[j] 且 i<j

那么长度为j的子序列中的第i个元素的值 d[i]>=d[j]=s[j]>s[i]

这与s数组的定义矛盾，

也就是说，s[i]的值应该是d[i]，所以，s[j]必定<=s[i]

所以就可以二分，每次在s数组中找出

最后一个大于等于a[i]的值在s数组中的位置j

则dp[i]=j+1; s[j+1]=a[i];

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

const int maxn=50010;
struct node
{
	int x,y;	
}a[maxn];
int s[maxn];
int n,ans;

bool cmp1(const node a,const node b)
{
	return a.x<b.x;
}

int my_binary_search(int l,int r,const int& key)
{
	int mid,ans=l-1;
	while (l<=r)
	{
		mid=(l+r)>>1;
		if (s[mid]>key) r=mid-1;
		else {ans=mid; l=mid+1;}		
	}
	return ans;	
}

int main()
{
	cin>>n;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		cin>>a[i].x>>a[i].y;
	sort(a+1,a+1+n,cmp1);
	ans=1;  s[1]=a[1].y;
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		int j=my_binary_search(1,ans,a[i].y);
		s[j+1]=a[i].y;
		if (ans<j+1) ans=j+1;		
	}
	cout<<ans;	
	return 0;
}