递推与组合数（OJ451）

问题介绍：

假设一共有N个光棍,其中有M个没有抽到自己的纸条,求发生这种情况一共有多少种可能.。

输入

每行包含两个整数N和M(1<M<=N<=20)，以EOF结尾。

输出

对于每个测试实例，请输出一共有多少种发生这种情况的可能，每个实例的输出占一行。

样例输入

2 23 2

样例输出

13

 

 

解决要点（1）

计算组合数：（Cmn:从M个人中挑出N个人）

在写程序时有个简单的方法，就是使用i和j两个变量分别指向Amn与N！（）

解决要点（2）全错排的问题

根据欧拉的地理，设N个人的拿法为f(N),则f(N)=(N-1)[f(N-1)+f(N-2)].f(0)=0,f(1)=1.

证明如下:

设N个人为a,b,c,d...,N张卡为A,B,C,D...

若a拿b的卡B,b也拿a的卡A,则显然只剩下N-2个人拿卡,自然是f(N-2)种了.

若a拿b的卡B,b没拿a的卡A(与"b没拿b的卡B"相同),则显然与N-1个人拿卡一样,自然是f(N-1)种了.

而a不一定拿B,只要是B,C,D...(N-1个)中的一个就可以了,所以在f(N-1)+f(N-2)再乘上N-1就行了.

 

程序如下：

#include<stdio.h>
 long long zuhe(int n,int m)
 {
    int i,j;
    long long t1,t2;
    t1=t2=1;

    for(i=n,j=1;i>n-m;--i,++j)
        {t1*=i;t2*=j;}
    return t1/t2;
 }
 long long a[21]={0,0,1};
 int main()
 {
    int m,n,i;

    for(i=3;i<21;++i)
        a[i]=(i-1)*(a[i-2]+a[i-1]);

    while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)
        printf("%lld\n",zuhe(n,m)*a[m]);
    return 0;
 }