KL散度、JS散度、Wasserstein距离

1. KL散度

$KL$散度又称为相对熵，信息散度，信息增益。$KL$散度是是两个概率分布P和Q 差别的非对称性的度量。 $KL$散度是用来 度量使用基于Q的编码来编码来自P的样本平均所需的额外的位元数。 典型情况下，P表示数据的真实分布，Q表示数据的理论分布，模型分布，或P的近似分布。

定义如下：

$$D_{KL} (P//Q)=-\sum_{x\in X} P(x)log {\frac{1}{P(x)}} + \sum_{x\in X} P(x)log {\frac{1}{Q(x)}}$$
因为对数函数是凸函数，所以 $KL$散度的值为非负数。

有时会将$KL$散度称为$KL$距离，但它并不满足距离的性质：

1. KL散度不是对称的:$KL(A, B)$ $\neq$ $KL(B, A)$

2. KL散度不满足三角不等式: $KL(A, B)$ $>$ $KL(A, C) + KL(C, B)$

2. JS散度(Jensen-Shannon)

$JS$散度度量了两个概率分布的相似度，基于$KL$散度的变体，解决了KL散度非对称的问题。一般地，$JS$散度是对称的，其取值是0到1之间。定义如下：

$KL$散度和$JS$散度度量的时候有一个问题：

如果两个分配P,Q离得很远，完全没有重叠的时候，那么KL散度值是没有意义的，而JS散度值是一个常数。这在学习算法中是比较致命的，这就意味这这一点的梯度为0。梯度消失了。

3. Wasserstein距离

$Wasserstein$距离度量两个概率分布之间的距离，定义如下：

$\Pi (P_1,P_2)$是$P_1$和$P_2$分布组合起来的所有可能的联合分布的集合。对于每一个可能的联合分布γ，可以从中采样$(x,y)∼\gamma$得到一个样本x和y，并计算出这对样本的距离||x−y||，所以可以计算该联合分布$\gamma$下，样本对距离的期望值$E(x,y)∼γ[||x−y||]$。在所有可能的联合分布中能够对这个期望值取到的下界$inf_\gamma$∼$\Pi (P_1,P_2)$E(x,y)$∼\gamma[||x−y||]$就是Wasserstein距离。

直观上可以把$E(x,y)∼\gamma[||x−y||]$理解为在$\gamma$这个路径规划下把土堆P1挪到土堆P2所需要的消耗。而$Wasserstein$距离就是在最优路径规划下的最小消耗。所以$Wesserstein$距离又叫Earth-Mover距离。

Wessertein距离相比KL散度和JS散度的优势在于：

即使两个分布的支撑集没有重叠或者重叠非常少，仍然能反映两个分布的远近。而JS散度在此情况下是常量，KL散度可能无意义。

转载自：
《KL散度、JS散度、Wasserstein距离》