什么是无穷：康托超穷数理论简评

转载自http://blog.sina.com.cn/s/blog_3eefe0890102x37g.html    吕陈君

我接着来讲讲无穷的概念。其实出发点很简单，任何无穷都是从自然数开始的，即

 

W：1，2，…，n，……

 

我们就把潜无穷序列W称作“基本无穷”。

 

接下来的问题就是，我们要在W的基础上来定义各种各样的函数集合，然后情况就变得复杂起来了。

 

不失一般性，令f为定义在W上的一个递归函数，也就是王浩讲的“层叠函数”，也就是说，可以形成如下一系列的函数集合：

 

W1:f(1) ，f(2) ，…，f(n)，……

W2:f（f(1)) ，f（f(2)) ，…，f（f(n))，……

……

 

这些逐次形成的函数集合W1,W2,…，Wn，……都是潜无穷序列。在数学分析中，或在经典数学里，并没有实无穷的概念。

 

但我们可以这样接着来问：W和W1究竟哪个集合更大啊？譬如，若令f(n)=2^n，那么W1就是如下一个无穷序列：

 

2^1，2^2，…，2^n，……

 

这个无穷序列其实就是我们熟悉的无穷二叉树，那么W1就是二进位制实数。所以，问题就变得复杂起来了。

 

如何精确描述这些递归集或层叠集W1,W2,…，Wn，……，就是数学分析严谨化或逻辑化的主要内容。康托的超穷数理论或集合论就是这样一种理论（当然还有其他理论）。

 

康托超穷序数理论的出发点其实也是很简单的。任何深奥的理论都是如此。康托的出发点就是，他假设在基本无穷序列1，2，…，n，……之后存在着一个极限数W，这就是康托创造出来的第一个“超穷数”，然后，通过不断的“+1”，康托就形成了不断增大的超穷数：

 

W,W1，W2，…，Wn，……

 

实质上，康托就是把自然数的秩序关系推广到了比自然数更大的集合，这样，就可以利用这些“超穷序数”来精确描述这些更大集合的排列秩序。所谓良序定理或选择公理，就是指任何一个无穷集都可以排列成康托的一个超穷序数序列。

 

但是，我们现在来看，康托超穷数存在着很大的内部结构缺陷。因为，这个理论描述不了实数，也就是说，实数的基数2^W究竟等于康托的哪一个超穷数Wn，这个问题在现有的集合论中原则上是不可判定的。

 

由于CH问题的不可判定性，所以像柯恩、王浩（甚至哥德尔）都有点怀疑，康托通过不断“+1”这种方法，到底能不能形成更大的超穷数或无穷集？其实，康托证明基数W1＞W的方法是不太严谨的，太过于直观化。我试着讲讲这个问题。

 

康托的证明其实是基于其“生成超穷序数的三个原则”，他证明了如下一个定理：

 

定理1：如果a1，a2，…，an，……是一个可数无穷序数的无穷序列，那么必然存在一个极限数b，b也是一可数无穷序数且不在原序列中。

 

这样，康托假设，如果W1=W，那么W1就可以排列成一个可数无穷序数序列B：

 

a1，a2，…，an，……

 

则必有一极限数b，b为一可数无穷序数且不在B中。可是，按照W1的定义，W1是所有可数无穷序数的集合，那么b又是在B中的。这样就导致了矛盾，所以假设W1=W不成立。

 

康托就是这样证明了基数W1＞W。这个证明的问题在于：即使我们认可康托这个证明是对的，那么按照这个方法，我们也无法证明W2＞W1，……等等。因为W2肯定为一不可数集，我们就没法假设它能排列成一个可数无穷序数序列，也就没法引用定理1，也就是说，我们没法再用反证法来证明W2＞W1了。

 

所以，利用康托的超穷序数能不能形成更大的超穷基数或超穷集合，这是存在疑问的。对二阶以上的高阶系统，康托理论就不再适用了。