tarjan看了几次了，这次才感觉明白了。

最新推荐文章于 2022-05-11 15:55:53 发布

原创最新推荐文章于 2022-05-11 15:55:53 发布 · 870 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

数据结构图论同时被 2 个专栏收录

7 篇文章

订阅专栏

tarjan

6 篇文章

订阅专栏

本文详细介绍Tarjan算法的工作原理，该算法用于寻找有向图中的强连通分量。通过深度优先搜索并利用low值和dfn值来确定强连通分量的根节点，最终实现高效地分割出所有强连通分量。

Tarjan算法的操作原理如下：

Tarjan算法基于定理：在任何深度优先搜索中，同一强连通分量内的所有顶点均在同一棵深度优先搜索树中。也就是说，强连通分量一定是有向图的某个深搜树子树。

可以证明，当一个点既是强连通子图Ⅰ中的点，又是强连通子图Ⅱ中的点，则它是强连通子图Ⅰ∪Ⅱ中的点。

这样，我们用low值记录该点所在强连通子图对应的搜索子树的根节点的Dfn值。注意，该子树中的元素在栈中一定是相邻的，且根节点在栈中一定位于所有子树元素的最下方。

强连通分量是由若干个环组成的。所以，当有环形成时（也就是搜索的下一个点已在栈中），我们将这一条路径的low值统一，即这条路径上的点属于同一个强连通分量。

如果遍历完整个搜索树后某个点的dfn值等于low值，则它是该搜索子树的根。这时，它以上（包括它自己）一直到栈顶的所有元素组成一个强连通分量。

算法框架

Dfn（u）为节点u搜索的次序编号（时间戳）。

Low（u）我们用low值记录该点所在强连通子图对应的搜索子树的根节点的Dfn值，为u或者u的子树能够追溯到的最早的栈中的节点的次序号dfn。

1.数组的初始化：当首次搜索到点p时，Dfn与Low数组的值都为到该点的时间。

2.堆栈：每搜索到一个点，将它压入栈顶。

3.当点u有与点v相连时，如果此时（时间为dfn[u]时）v不在栈中，u的low值为两点的low值中较小的一个。(这是顺着树边向下找)

4.当点u有与点v相连时，如果此时（时间为dfn[u]时）v在栈中，u的low值为u的low值和v的dfn值中较小的一个。（出现环了，这是一条返祖边，一个联通分量可能有多个环）

5.每当搜索到一个点经过以上操作后（也就是子树已经全部遍历）的low值等于dfn值，则将它以及在它之上的元素弹出栈。这些出栈的元素组成一个强连通分量。

6.继续搜索（或许会更换搜索的起点，因为整个有向图可能分为两个不连通的部分），直到所有点被遍历。

伪代码

tarjan(u){

　　DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值

　　Stack.push(u) // 将节点u压入栈中

　　for each (u, v) in E // 枚举每一条边

　　　　if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过

　　　　　　　　tarjan(v) // 继续向下找

　　　　　　　　Low[u] = min(Low[u], Low[v])

　　　　else if (v in S) // 如果节点u还在栈内

　　　　　　　　Low[u] = min(Low[u], DFN[v])

　　if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根

　　repeat v = S.pop // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点

　　print v

　　until (u== v)

}

可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。N为点数，M为边数。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<iostream> 
using namespace std;
struct node {
	int v,next;
} edge[1001];
int DFN[1001],LOW[1001];
int stack[1001],heads[1001],visit[1001],cnt,tot,index;
void add(int x,int y) {
	edge[++cnt].next=heads[x];
	edge[cnt].v = y;
	heads[x]=cnt;
	return ;
}
void tarjan(int x) { //代表第几个点在处理。递归的是点。
	DFN[x]=LOW[x]=++tot;// 新进点的初始化。
	cout<<x<<":"<<DFN[x]<<" "<<LOW[x]<<endl;	
	stack[++index]=x;//进站
	visit[x]=1;//表示在栈里
	for(int i=heads[x]; i!=-1; i=edge[i].next) {
		if(!DFN[edge[i].v]) {//如果没访问过
		    cout<<"  in u-v:   "<<x<<"->"<<edge[i].v<<"  low"<<x<<"="<<LOW[x]<<" low"<<edge[i].v<<"="<<LOW[edge[i].v]<<endl;
			tarjan(edge[i].v);//往下进行延伸，开始递归
			cout<<"      out:  "<<x<<"->"<<edge[i].v<<"  low"<<x<<"="<<LOW[x]<<" ";
			LOW[x]=min(LOW[x],LOW[edge[i].v]);//递归出来，比较谁是谁的儿子／父亲，就是树的对应关系，涉及到强连通分量子树最小根的事情。
			cout<<"  low"<<edge[i].v<<"="<<LOW[edge[i].v]<<"=> low"<<x<<":"<<LOW[x]<<endl; 
		} 
		else if(visit[edge[i].v ]) { //出现了环：如果访问过，并且还在栈里。 
			cout<<"  else"<<edge[i].v<<":instack  "<<x<<"->"<<edge[i].v<<"  low"<<x<<"="<<LOW[x]<<" ";
			LOW[x]=min(LOW[x],DFN[edge[i].v]);//比较谁是谁的儿子／父亲。找出所有子树中最早出现的dfn 
			cout<<"  dfn"<<edge[i].v<<"="<<DFN[edge[i].v]<<"=>low"<<x<<"="<<LOW[x]<<endl;
		}
	}
	if(LOW[x]==DFN[x]) { //发现是整个强连通分量子树里的最小根。
	     cout<<"ssc:";
		do {
			printf("   %d dfn=%d, low=%d    \n",stack[index],DFN[stack[index]],LOW[stack[index]]);
			visit[stack[index]]=0;
			index--;
		} while(x!=stack[index+1]);//出栈，并且输出。
		printf("\n");
	}
	return ;
}
int main() {
	memset(heads,-1,sizeof(heads));
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int x,y;
	for(int i=1; i<=m; i++) {
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y);
	}
	for(int i=1; i<=n; i++){
		cout<<i<<endl; 
			if(!DFN[i])  tarjan(i);//当这个点没有访问过，就从此点开始。防止图没走完
	}
	   
	
	return 0;
}

数据：及执行结果

6 7

1 2

2 3

3 5

3 4

4 1

5 6

5 4

1:1 1

inu-v: 1->2 low1=1 low2=0

2:2 2