17、混合有限元方法与Stokes问题求解

混合有限元方法与Stokes问题求解

1. 混合有限元方法基础

1.1 H(div; K)插值函数

H(div; K)插值函数可表示为：
[
\Pi_{K}^{d}v(x_1, x_2) = \sum_{j = 1}^{4} \left(\int_{e_j} v \cdot n_j dl \right) N_j(x_1, x_2)
]
并且满足插值条件：
[
\int_{e_j} (\Pi_{K}^{d}v - v) \cdot n_j dl = 0
]

1.2 RTN空间

在立方体上，RTN空间对于每个 ( r \geq 0 ) 定义如下：
[
U_h(K) = Q_{r + 1, r, r}(K) \times Q_{r, r + 1, r}(K) \times Q_{r, r, r + 1}(K)
]
[
V_h(K) = Q_{r, r, r}(K)
]
( U_h(K) ) 和 ( V_h(K) ) 的维度分别为：
[
\dim U_h(K) = 3(r + 1)^2(r + 2)
]
[
\dim V_h(K) = (r + 1)^3
]
函数 ( v \in U_h(K) ) 由自由度唯一确定：
- ( \langle v \cdot n, w \rangle_e )，( \forall w \in Q_{r, r}(e) )，( e \in \partial K )
- ( (v, w) K )，(