15、有限元方法编程实现：二维对流扩散问题求解

有限元方法编程实现：二维对流扩散问题求解

1. 引言

有限元方法是求解偏微分方程（PDEs）的一种强大工具。本文将详细介绍二维对流扩散问题的有限元方法编程实现，包括网格生成、方程形成、矩阵计算、边界条件处理等关键步骤，并给出相应的MATLAB代码。

2. 二维对流扩散问题描述

考虑如下二维对流扩散问题：
[
\begin{cases}
-\triangle u + \vec{v} \cdot \nabla u = s & \text{in } \Omega \
u = u_{exact} & \text{on } \partial \Omega
\end{cases}
]
其中，(\Omega) 是物理域，(\vec{v}) 是速度向量，(s) 是源项。

3. 求解偏微分方程的基本步骤

求解偏微分方程的基本步骤如下：
1. 将物理域离散为有限元；
2. 将偏微分方程改写为弱形式；
3. 计算每个有限元的单元矩阵；
4. 组装单元矩阵形成全局线性系统；
5. 通过修改全局线性系统实现边界条件；
6. 求解线性系统并对解进行后处理。

下面将详细介绍这些步骤的具体实现。

4. FEM网格生成

为了简化问题，假设物理域 (\Omega) 是一个多边形，可以将其离散为 (N_E) 个三角形单元 (T_h)。这里采用一种简单的算法：从一个非常粗糙的网格开始，然后通过均匀细分生成不同级别的更细网格，即每个三角形被细分为四个更小的三角形。 <