27、有限元方法求解边值问题的深入解析与应用

有限元方法求解边值问题的深入解析与应用

1. 加权残值法与有限元法的Galerkin公式

有限元法（FEM）是求解输运型偏微分方程（PDEs）的强大工具。对于这类方程，我们首先将所有非零项收集到方程一侧，定义一个残值函数 $R(t,r)$：
[R(t,r) = \frac{\partial\phi}{\partial t} + \nabla\cdot (\phi v) - \kappa\nabla^2\phi - s(r, t, \phi) = 0]
为了得到加权残值，我们将残值函数乘以任意权重函数 $w(r)$ 并在定义域 $\Omega$ 上积分：
[\int_{\Omega} w(r)R(t,r)dr = \int_{\Omega} w(r)\left[\frac{\partial\phi}{\partial t} + \nabla\cdot (\phi v) - \kappa\nabla^2\phi - s(r, t, \phi)\right]dr = 0]
对于与时间无关的问题，上述方程变为：
[\int_{\Omega} w(r)R(r)dr = \int_{\Omega} w(r)[\nabla\cdot (\phi v) - \kappa\nabla^2\phi - s(r, \phi)]dr = 0]
为了得到一组代数方程，我们将试解 $\phi(r)$ 参数化为系数向量 $\phi \in \mathbb{R}^N$ 的形式，并选择 $N$ 个权重函数 $w_p(r)$：
[f_p(\phi) = \int_{\Omega} w_p(r)R(r)dr = 0]

选择合适的权重函数至关重要。一种选择是最小二乘法，