14、有限元方法：基础理论

有限元方法：基础理论

1. 引言

在处理时变问题时，有限元方法是一种强大的工具。我们首先会介绍时变问题的有限元离散化，然后详细阐述半离散和全离散有限元方法在抛物问题中的应用与分析。

2. 时变问题的基础空间与问题表述

2.1 相关空间定义

对于时变问题，我们需要考虑时空函数 (v(x, t))，((x, t) \in \Omega \times (0, T))，并引入以下空间：
- (L^q(0, T; W^{k,p}(\Omega)) = {v : (0, T) \to W^{k,p}(\Omega) : \int_{0}^{T} ||v(t)|| {W^{k,p}(\Omega)}^q dt < \infty})，(1 \leq q < \infty)，其范数为 (||v|| {L^q(0,T ;W^{k,p}(\Omega))} = (\int_{0}^{T} ||v(t)|| {W^{k,p}(\Omega)}^q dt)^{1/q})。
- 当 (q = \infty) 时，(L^{\infty}(0, T; W^{k,p}(\Omega))) 的范数为 (||v|| {L^{\infty}(0,T ;W^{k,p}(\Omega))} = \max_{0\leq t\leq T} ||v(\cdot, t)||_{W^{k,p}(\Omega)})。
- 另一个常用的 Sobolev 空间是 (H^1(0, T; V ) = {v \in L^2(0, T; V ) : \frac{\partial v}{\partial t} \in L^2(0, T;