10、高阶紧致差分方法详解

高阶紧致差分方法详解

1. 二维问题的时间离散化

考虑二维抛物方程：
[
\begin{cases}
u_t = \nu(u_{xx} + u_{yy}) + F(x, y, t), & (x, y, t) \in \Omega\times (0, T] \
u(x, y, 0) = G(x, y), & (x, y) \in \Omega \
u(x, y, t)|_{\partial\Omega} = H(x, y), & t \in [0, T]
\end{cases}
]
其中，扩散系数 $\nu$ 是正常数，$\Omega \equiv [0, 1]^2$，$\partial\Omega$ 是区域的边界。

为了开发高阶紧致格式，将 $\Omega$ 在每个方向上划分为均匀网格：
[
x_i = (i - 1)\Delta x, i = 1, \cdots, N_x; \quad y_j = (j - 1)\Delta y, j = 1, \cdots, N_y
]
其中，$\Delta x$ 和 $\Delta y$ 分别是 $x$ 和 $y$ 方向的网格尺寸，$\Delta t$ 是时间步长，$u_{ij}^n$ 表示 $u(i\Delta x, j\Delta y, n\Delta t)$ 的近似解。

应用 Peaceman - Rachford ADI 方法得到：
[
\frac{u_{ij}^{n + 1/2} - u_{ij}^n}{0.5\Delta t} = \nu[(u_{xx})