8、高阶紧致差分方法详解

高阶紧致差分方法详解

1. 高阶紧致差分方法概述

在诸如航空声学和电磁学等众多应用领域中，需要对声学和电磁波在长时间和远距离上的传播进行精确模拟。为减少误差积累，数值算法必须具备高精度。为此，高阶紧致有限差分格式应运而生，广泛应用于波传播问题和地表水建模等领域。

高阶有限差分格式主要分为显式格式和Pade型（紧致）格式。显式格式通过大模板直接在每个网格点计算数值导数，而紧致格式则使用较小模板并求解线性方程组来获取沿网格线的所有数值导数。经验表明，相同阶数下，紧致格式比显式格式更精确。

2. 一维问题的处理

2.1 空间离散化

在高阶紧致差分方法中，控制偏微分方程（PDEs）中的空间导数并非直接用有限差分近似，而是通过紧致差分格式计算。具体来说，给定标量点值$f$，其导数通过求解三对角或五对角系统得到。

以线性色散方程$u_t + c^{-2}u_{xxx} = 0$为例，其中$x \in (X_L, X_R)$，$t \in (0, T)$，并带有适当的初始条件和周期边界条件。为求解该问题，将物理域$[X_L, X_R]$用均匀一维网格细分，网格大小$h = x_{i + 1} - x_i$，包含$N$个点：$X_L = x_1 < x_2 < \cdots < x_{i - 1} < x_i < x_{i + 1} < \cdots < x_N = X_R$。时间域$[0, T]$用均匀网格点$t_n = n\tau$细分，其中$\tau = T/M$，$n = 0, \cdots, M$。

简单的向前欧拉格式为：对于所有$n = 0, \cdots, M - 1$