9、基于MATLAB的高阶紧致差分方法求解偏微分方程

基于MATLAB的高阶紧致差分方法求解偏微分方程

1. 滤波器参数与边界公式

在相关计算中，有如下参数和公式：
- 参数 $\alpha_f$ 是一个自由参数，满足不等式 $-0.5 < \alpha_f \leq 0.5$。大量数值经验表明，$\alpha_f$ 取值在 0.3 到 0.5 之间较为合适。
- 系数公式如下：
- $a_3 = \frac{45(1 - 2\alpha_f)}{512}$
- $a_4 = \frac{5(-1 + 2\alpha_f)}{256}$
- $a_5 = \frac{1 - 2\alpha_f}{512}$

由于滤波器的模板较大，在靠近边界的点需要特殊的公式。

2. 数值示例与MATLAB代码

2.1 线性色散方程示例

考虑线性色散方程 $u_t + c^{-2}u_{xxx} = 0$，初始条件为 $u(x, 0) = \sin(cx)$，周期边界条件下，精确解为 $u(x, t) = \sin(c(x + t))$，其中 $x \in [0, 2\pi]$，$t \in [0, 1]$。

为展示紧致格式相较于同阶显式格式的优越性能，进行了以下计算：
- $c = 8$ 的情况 ：使用 41 个均匀分布的点（即 $\Delta x = \frac{2\pi}{40}$），时间步长 $\Delta t = a(\Delta x)^3$，$a = 0.125$。分别用四阶显式和紧致格式（$\alpha = \frac{15}{32}$），以及六阶显式和紧致格式（$\