65、增材制造设计：拓扑优化与生成式设计全解析

增材制造设计：拓扑优化与生成式设计全解析

1. 拓扑优化方法概述

拓扑优化是设计复杂结构的重要手段，常见的方法有基于应力的尺寸优化方法（SMS）和基于体积的密度方法。

1.1 基于应力的尺寸优化方法（SMS）

SMS 方法旨在通过确定最小和最大支柱直径来优化结构。具体操作步骤如下：
1. 对设计的实体进行有限元分析（FEA）。
2. 构建一个符合实体内部的共形晶格结构。
3. 利用 FEA 结果中的局部应变或应力值来缩放晶格结构中的支柱，得到一组相对支柱尺寸值。
4. 使用框架元素对晶格结构进行建模，进行尺寸优化，以确定最小和最大支柱直径的值。

例如，在简化的无人机机身设计问题中应用 SMS 方法，高应力区域会产生较厚的支柱。

1.2 基于体积的密度方法

基于体积的密度方法主要是确定构成空间域的一组体素中的合适材料密度。最常见的基于密度的拓扑优化（TO）方法是 SIMP（带惩罚的固体各向同性材料）方法。其操作步骤如下：
1. 问题的起始几何通常是一个由一组体素组成的矩形块（可以去除或添加附着孔或其他简单形状）。
2. 每个体素都有一个密度值，作为其设计变量。密度值为 1 表示材料完全致密，值为 0 表示没有材料存在，中间值表示材料不需要完全实心就能支持该体素中的局部应力状态。
3. 在 TO 过程中使用的有限元分析模型中，密度值用于缩放体素刚度值。

典型的拓扑优化问题可以表述为：
[
\min \int_{x \in \Omega} f^T v \, dx + \int_{s \in \Gamma} t^T v \, d