矩阵运算与弹性力学问题解析

1、对于给定的矩阵/向量对，计算以下量：aii、aijaij、aijajk、aijbj、aijbibj、bibj、bibi。对于每种情况，指出结果是标量、向量还是矩阵。注意，aijbj实际上是矩阵乘积[a]{b}，而aijajk是乘积[a][a]。(a) aij ＝ [1 1 0; 0 4 2; 0 1 1]，bi ＝ [0; 1; 2]; (b) aij ＝ [1 2 0; 0 1 1; 0 4 2]，bi ＝ [2; 1; 0]; (c) aij ＝ [1 0 1; 1 0 2; 0 1 3]，bi ＝ [1; 0; 1]; (d) aij ＝ [1 0 0; 0 2 1; 0 2 0]，bi ＝ [2; 0; 1]。

• aii 为矩阵对角元素之和，是标量；
• aijaij 为矩阵元素平方和，是标量；
• aijajk 是矩阵相乘，结果是矩阵；
• aijbj 是矩阵与向量相乘，结果是向量；
• aijbibj 是经过一系列运算的结果，是标量；
• bibj 是向量元素两两相乘构成的矩阵；
• bibi 是向量元素平方和，是标量。

2、确定给定的向量 $b_i$ 和矩阵 $a_{ij}$ 在通过绕 $x_1$ 轴旋转 45°（π/4 弧度）得到的新坐标系中的分量。旋转方向遵循右手螺旋定则的正方向。

先确定绕 $x_1$ 轴旋转 45°的旋转矩阵 $Q_{ij}$，然后根据向量变换公式
$$ b’ i = Q {ij}b_j $$
计算向量 $b_i$ 在新坐标系中的分量，根据矩阵变换公式
$$ a’ {ij} = Q {ip}Q_{jq}a_{pq} $$
计算矩阵 $a_{ij}$ 在新坐标系中的分量。

3、使用指标符号，明确验证